Lượng giác Ví dụ

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Bước 1

Thay thế $2 \cos^{2} (x)$ bằng $2 (1 - \sin^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Bước 2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Bước 3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Bước 4

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

Bước 5

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 u^{2} - u + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Bước 5.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Bước 5.1.3

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 5.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 u^{2}) - u$ .

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 5.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Bước 5.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Nhân với $1$ .

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Bước 5.2.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1$ cộng $2$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Bước 5.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Bước 5.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Bước 5.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Bước 5.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Bước 5.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Bước 6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 7

Đặt $2 u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $2 u - 1$ bằng với $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Bước 7.2

Giải $2 u - 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 u = 1$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 7.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Bước 8

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 8.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Bước 10

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Bước 11

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 12.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 12.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{6}$

Bước 12.4

Rút gọn $π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 12.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 12.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 12.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 12.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 12.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 12.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 13.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 13.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 13.4.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 13.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 13.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 13.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 13.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 13.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 13.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 13.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Tìm các giá trị của $n$ tạo ra một giá trị trong khoảng $[0, 2 π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Bước 16.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $2 π (0)$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Bước 16.1.2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Bước 16.1.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Bước 16.1.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Bước 16.1.2.1.1.2.4

Chia $2 π \cdot (0)$ cho $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Bước 16.1.2.1.2

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1.2.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Bước 16.1.2.1.2.2

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Bước 16.1.2.2

Cộng $\frac{π}{6}$ và $0$ .

$\frac{π}{6}$

Bước 16.1.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 16.2

Điền $1$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Thay vào $1$ cho $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Bước 16.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Bước 16.2.2.2

Để viết $\frac{2 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 16.2.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.3.1

Nhân $\frac{2 π}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Bước 16.2.2.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Bước 16.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Bước 16.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Bước 16.2.2.5.2

Cộng $π$ và $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Bước 16.2.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Bước 16.3

Điền $2$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Thay vào $2$ cho $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Bước 16.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Bước 16.3.2.2

Để viết $\frac{4 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 16.3.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.2.3.1

Nhân $\frac{4 π}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Bước 16.3.2.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Bước 16.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Bước 16.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.2.5.1

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Bước 16.3.2.5.2

Cộng $π$ và $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Bước 16.3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 π$ .

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Bước 16.3.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Bước 16.3.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Bước 16.3.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 π}{2}$

Bước 16.3.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$