Lượng giác Ví dụ

$y = e^{x - 1}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{y - 1}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{y - 1} = x$ .

$e^{y - 1} = x$

Bước 2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

Bước 2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Khai triển $\ln (e^{y - 1})$ bằng cách di chuyển $y - 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Bước 2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Bước 2.3.3

Nhân $y - 1$ với $1$ .

$y - 1 = \ln (x)$

Bước 2.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \ln (x) + 1$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x - 1$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

Bước 4.2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Bước 4.2.3.3

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Bước 4.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

Bước 4.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\ln (x) + 1)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

Bước 4.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(\ln (x) + 1) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

Bước 4.3.3.2

Cộng $\ln (x)$ và $0$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

Bước 4.3.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (x) + 1) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ là hàm ngược của $f (x) = e^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$