Lượng giác Ví dụ

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

Bước 1

Đây là dãy cấp số nhân vì giữa các số hạng kề nhau có một tỉ số chung. Trong trường hợp này, ta nhân số hạng đứng trước với $- \frac{1}{3}$ sẽ cho ra số hạng kế tiếp trong dãy. Nói cách khác, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Cấp số nhân: $r = - \frac{1}{3}$

Bước 2

Đây là dạng của một cấp số nhân.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Bước 3

Thay vào các giá trị của $a_{1} = 1$ và $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Bước 4

Nhân ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ với $1$ .

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Bước 6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

Bước 7

Kết hợp ${(- 1)}^{n - 1}$ và $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Bước 8

Đây là công thức để tìm tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Để tính, hãy tìm các giá trị của $r$ và $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Bước 9

Thay thế các biến bằng các giá trị đã biết để tìm $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Bước 10

Nhân $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ với $1$ .

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Bước 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Bước 11.2

Kết hợp.

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

Bước 12

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Bước 13

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ vào tử số.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3^{5}$ .

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.3.4

Viết lại biểu thức.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.8

Nhân $3$ với $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.9

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.10

Kết hợp $- 3$ và $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.12.1

Nhân $- 3$ với $81$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.12.2

Trừ $243$ khỏi $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 15

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

Bước 15.2

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

Bước 16

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Bước 17

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{244}{81}$ vào tử số.

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Bước 17.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 244$ .

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Bước 17.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Bước 17.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Bước 17.5

Viết lại biểu thức.

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

Bước 18

Nhân $\frac{- 61}{81}$ với $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

Bước 19

Nhân $81$ với $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

Bước 20

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$S_{5} = \frac{61}{81}$