Lượng giác Ví dụ

$f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt[3]{x - 3} + 2$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt[3]{y - 3} + 2$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt[3]{y - 3} + 2 = x$ .

$\sqrt[3]{y - 3} + 2 = x$

Bước 3.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt[3]{y - 3} = x - 2$

Bước 3.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{y - 3}}^{3} = {(x - 2)}^{3}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{y - 3}$ ở dạng ${(y - 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 2)}^{3}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 2)}^{3}$

Bước 3.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 2)}^{3}$

Bước 3.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y - 3)}^{1} = {(x - 2)}^{3}$

Bước 3.4.2.1.2

Rút gọn.

$y - 3 = {(x - 2)}^{3}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn ${(x - 2)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$y - 3 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 3.4.3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.2.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 3.4.3.1.2.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Bước 3.4.3.1.2.3

Nhân $4$ với $3$ .

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}$

Bước 3.4.3.1.2.4

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Bước 3.5

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3$

Bước 3.5.2

Cộng $- 8$ và $3$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {\sqrt[3]{x - 3}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Viết lại ${\sqrt[3]{x - 3}}^{3}$ ở dạng $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x - 3}$ ở dạng ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(x - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(x - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = (x - 3) + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.1.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.2

Viết lại ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 4 + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.5

Nhân $4$ với $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.2.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 8 - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.3

Cộng $- 3$ và $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.4

Viết lại ${(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2}$ ở dạng $(\sqrt[3]{x - 3} + 2) (\sqrt[3]{x - 3} + 2)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 ((\sqrt[3]{x - 3} + 2) (\sqrt[3]{x - 3} + 2)) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.5

Khai triển $(\sqrt[3]{x - 3} + 2) (\sqrt[3]{x - 3} + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{x - 3} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) + 2 (\sqrt[3]{x - 3} + 2)) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 (\sqrt[3]{x - 3} + 2)) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.6.1.1

Nhân $\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.6.1.1.1

Nâng $\sqrt[3]{x - 3}$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 5.2.3.6.1.1.2

Nâng $\sqrt[3]{x - 3}$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 5.2.3.6.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.6.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{2} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.6.1.2

Viết lại ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.6.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 2 \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.6.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 4) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.6.2

Cộng $2 \sqrt[3]{x - 3}$ và $2 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 4 \sqrt[3]{x - 3} + 4) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 6 (4 \sqrt[3]{x - 3}) - 6 \cdot 4 + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.8.1

Nhân $4$ với $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \cdot 4 + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.8.2

Nhân $- 6$ với $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Bước 5.2.3.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \cdot 2 - 5$

Bước 5.2.3.10

Nhân $12$ với $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$

Bước 5.2.4

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Trừ $6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ khỏi $6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 0 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$

Bước 5.2.4.1.2

Cộng $x + 5$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$

Bước 5.2.4.1.3

Cộng $- 24$ và $24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 0 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 5$

Bước 5.2.4.1.4

Cộng $x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 5$

Bước 5.2.4.1.5

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 0 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$

Bước 5.2.4.1.6

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$

Bước 5.2.4.2

Trừ $24 \sqrt[3]{x - 3}$ khỏi $12 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 12 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 12 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Cộng $- 12 \sqrt[3]{x - 3}$ và $12 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 0$

Bước 5.2.4.3.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) - 3} + 2$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $3$ khỏi $- 5$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8} + 2$

Bước 5.3.3.2

Viết lại $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Phân tích $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Bước 5.3.3.2.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Bước 5.3.3.2.1.3

Thay $2$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $2$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.3.1

Thay $2$ vào đa thức.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Bước 5.3.3.2.1.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Bước 5.3.3.2.1.3.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Bước 5.3.3.2.1.3.4

Nhân $- 6$ với $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Bước 5.3.3.2.1.3.5

Trừ $24$ khỏi $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Bước 5.3.3.2.1.3.6

Nhân $12$ với $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Bước 5.3.3.2.1.3.7

Cộng $- 16$ và $24$ .

$8 - 8$

Bước 5.3.3.2.1.3.8

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$0$

Bước 5.3.3.2.1.4

Vì $2$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 2$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Bước 5.3.3.2.1.5

Chia $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ cho $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Bước 5.3.3.2.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Bước 5.3.3.2.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Bước 5.3.3.2.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Bước 5.3.3.2.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Bước 5.3.3.2.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Bước 5.3.3.2.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 4 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Bước 5.3.3.2.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Bước 5.3.3.2.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Bước 5.3.3.2.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Bước 5.3.3.2.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Bước 5.3.3.2.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $4 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Bước 5.3.3.2.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Bước 5.3.3.2.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $4 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Bước 5.3.3.2.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Bước 5.3.3.2.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} - 4 x + 4$

Bước 5.3.3.2.1.6

Viết $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)} + 2$

Bước 5.3.3.2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})} + 2$

Bước 5.3.3.2.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 5.3.3.2.2.3

Viết lại đa thức này.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})} + 2$

Bước 5.3.3.2.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) {(x - 2)}^{2}} + 2$

Bước 5.3.3.2.3

Kết hợp các thừa số tương tự.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.3.1

Nâng $x - 2$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) {(x - 2)}^{2}} + 2$

Bước 5.3.3.2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1 + 2}} + 2$

Bước 5.3.3.2.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Bước 5.3.3.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = x - 2 + 2$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$