Lượng giác Ví dụ

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $18$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $9 x^{2} - 36 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 36$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 18}{9}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 18$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $- 36$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $1296$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $36$ .

$e = 0 - 36$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $36$ khỏi $0$ .

$e = - 36$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Bước 1.3

Thay $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ cho $9 x^{2} - 36 x$ trong phương trình $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

Bước 1.4

Di chuyển $- 36$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $36$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- y^{2} - 6 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Bước 1.5.3.2.2

Viết lại $- 1 \cdot - 3$ ở dạng $- - 3$ .

$d = - - 3$

Bước 1.5.3.2.3

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$d = 3$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $36$ cho $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $9$ .

$e = 9$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Bước 1.6

Thay $- {(y + 3)}^{2} + 9$ cho $- y^{2} - 6 y$ trong phương trình $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

Bước 1.7

Di chuyển $9$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $9$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

Bước 1.8

Rút gọn $- 18 + 36 - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $- 18$ và $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

Bước 1.8.2

Trừ $9$ khỏi $18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $9$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Bước 4

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 4.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

Bước 4.3.3

Cộng $1$ và $9$ .

$\sqrt{10}$

Bước 5

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 5.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2 + \sqrt{10}, - 3)$

Bước 5.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 5.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2 - \sqrt{10}, - 3)$

Bước 5.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)$

Bước 6