Lượng giác Ví dụ

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 \sin (x - 0.5)$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x - 0.5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 0.5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 0.5$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 0.5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.2.5

Vì $- 0.5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 0.5$ đối với $x$ là $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.2.6

Cộng $1$ và $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.2.7

Nhân $\cos (x - 0.5)$ với $1$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $11$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $11$ đối với $x$ là $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $- 4 \cos (x - 0.5)$ và $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 \cos (x - 0.5)$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x - 0.5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 0.5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Bước 2.3.4

Vì $- 0.5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 0.5$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

Bước 2.3.5.2

Nhân $4$ với $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Bước 4.2.1.2

Chia $\cos (x - 0.5)$ cho $1$ .

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia $0$ cho $- 4$ .

$\cos (x - 0.5) = 0$

Bước 5

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

Bước 6

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

Bước 7

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $0.5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

Bước 7.2

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0.5$ .

$x = 2.07079632$

Bước 8

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 9

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 9.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 9.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 9.1.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

Bước 9.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $0.5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

Bước 9.2.2

Cộng $\frac{3 π}{2}$ và $0.5$ .

$x = 5.21238898$

Bước 10

Đáp án của phương trình $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2.07079632$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

Bước 12

Trừ $0.5$ khỏi $2.07079632$ .

$4 \sin (1.57079632)$

Bước 13

$x = 2.07079632$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 2.07079632$ là cực tiểu địa phương

Bước 14

Tìm giá trị y khi $x = 2.07079632$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế biến $x$ bằng $2.07079632$ trong biểu thức.

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

Bước 14.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Trừ $0.5$ khỏi $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Bước 14.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ .

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Bước 15

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 5.21238898$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

Bước 16

Trừ $0.5$ khỏi $5.21238898$ .

$4 \sin (4.71238898)$

Bước 17

$x = 5.21238898$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 5.21238898$ là cực đại địa phương

Bước 18

Tìm giá trị y khi $x = 5.21238898$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế biến $x$ bằng $5.21238898$ trong biểu thức.

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

Bước 18.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Trừ $0.5$ khỏi $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Bước 18.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ .

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Bước 19

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ .

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ là một cực tiểu địa phương

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 20