Lượng giác Ví dụ

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 105 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Bước 1

Quy luật của sin dựa trên tỉ lệ của các cạnh và góc trong hình tam giác. Quy luật nói rằng đối với các góc của một tam giác không phải tam giác vuông, mỗi góc của tam giác có cùng tỉ lệ của số đo góc với giá trị sin.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Bước 2

Thay các giá trị đã biết vào định luật của sin để tìm $A$ .

$\frac{\sin (A)}{14} = \frac{\sin (105)}{23}$

Bước 3

Giải phương trình để tìm $A$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $14$ .

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Bước 3.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $14 \frac{\sin (105)}{23}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (105)$ là $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (75)}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.2

Chia $75$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30 + 45)}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.3

Áp dụng công thức tổng của góc.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (30)$ là $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.8

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.8.1.1

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.8.1.2

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{23}$

Bước 3.2.2.1.1.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{23}$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sin (A) = 14 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23})$

Bước 3.2.2.1.3

Nhân $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ với $\frac{1}{23}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 23}$

Bước 3.2.2.1.3.2

Nhân $4$ với $23$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Bước 3.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$\sin (A) = 2 (7) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Bước 3.2.2.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $92$ .

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Bước 3.2.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Bước 3.2.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$

Bước 3.2.2.1.5

Kết hợp $7$ và $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46}$

Bước 3.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $A$ từ trong hàm sin.

$A = \arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$

Bước 3.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tính $\arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$ .

$A = 36.01201213$

Bước 3.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $180$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$A = 180 - 36.01201213$

Bước 3.6

Trừ $36.01201213$ khỏi $180$ .

$A = 143.98798786$

Bước 3.7

Đáp án của phương trình $A = 36.01201213$ .

$A = 36.01201213, 143.98798786$

Bước 3.8

Loại trừ tam giác không hợp lệ.

$A = 36.01201213$

Bước 4

Tổng của tất cả các góc trong một tam giác là $180$ độ.

$36.01201213 + C + 105 = 180$

Bước 5

Giải phương trình để tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $36.01201213$ và $105$ .

$C + 141.01201213 = 180$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $141.01201213$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 180 - 141.01201213$

Bước 5.2.2

Trừ $141.01201213$ khỏi $180$ .

$C = 38.98798786$

Bước 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Bước 7

Thay các giá trị đã biết vào định luật của sin để tìm $c$ .

$\frac{\sin (38.98798786)}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Bước 8

Giải phương trình để tìm $c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính $\sin (38.98798786)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Bước 8.1.2

Tính $\sin (36.01201213)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{0.58795485}{14}$

Bước 8.1.3

Chia $0.58795485$ cho $14$ .

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$

Bước 8.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$c, 1$

Bước 8.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$c$

Bước 8.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ với $c$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ với $c$ .

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Bước 8.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$0.62915744 = 0.04199677 c$

Bước 8.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $0.04199677 c = 0.62915744$ .

$0.04199677 c = 0.62915744$

Bước 8.4.2

Chia mỗi số hạng trong $0.04199677 c = 0.62915744$ cho $0.04199677$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $0.04199677 c = 0.62915744$ cho $0.04199677$ .

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Bước 8.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $0.04199677$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Bước 8.4.2.2.1.2

Chia $c$ cho $1$ .

$c = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Bước 8.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.1

Chia $0.62915744$ cho $0.04199677$ .

$c = 14.98108954$

Bước 9

Đây là kết quả cho tất cả các góc và cạnh của tam giác đã cho.

$A = 36.01201213$

$B = 105$

$C = 38.98798786$

$a = 14$

$b = 23$

$c = 14.98108954$