Lượng giác Ví dụ

$f (x) = 6^{x} - 3$

Bước 1

Viết $f (x) = 6^{x} - 3$ ở dạng một phương trình.

$y = 6^{x} - 3$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 6^{y} - 3$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $6^{y} - 3 = x$ .

$6^{y} - 3 = x$

Bước 3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$6^{y} = x + 3$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (6^{y}) = \ln (x + 3)$

Bước 3.4

Khai triển $\ln (6^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (6) = \ln (x + 3)$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (6) = \ln (x + 3)$ cho $\ln (6)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (6) = \ln (x + 3)$ cho $\ln (6)$ .

$\frac{y \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 6^{x} - 3$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (6^{x} - 3)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{\ln ((6^{x} - 3) + 3)}{\ln (6)}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $6^{x} - 3 + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{\ln (6^{x} + 0)}{\ln (6)}$

Bước 5.2.3.2

Cộng $6^{x}$ và $0$ .

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (6)}$

Bước 5.2.4

Khai triển $\ln (6^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Bước 5.2.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = 6^{\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}} - 3$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = 6^{\log_{6} (x + 3)} - 3$

Bước 5.3.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = x + 3 - 3$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 3 - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$ là hàm ngược của $f (x) = 6^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$