Lượng giác Ví dụ



\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 12 c = a = & 10 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 48 B = C = \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 12 \\ c = \\ a = & 10 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 48 \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Bước 1

Định lý Sin tạo ra một kết quả góc mơ hồ. Điều này có nghĩa là có các góc

2

$2$ sẽ giải phương trình một cách chính xác. Đối với tam giác đầu tiên, sử dụng giá trị đầu tiên có thể của góc.

Giải tìm tam giác đầu tiên.

Bước 2

Quy luật của sin dựa trên tỉ lệ của các cạnh và góc trong hình tam giác. Quy luật nói rằng đối với các góc của một tam giác không phải tam giác vuông, mỗi góc của tam giác có cùng tỉ lệ của số đo góc với giá trị sin.

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Bước 3

Thay các giá trị đã biết vào định luật của sin để tìm

B

$B$ .

\frac{sin (B)}{12} = \frac{sin (48)}{10}

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 4

Giải phương trình để tìm

B

$B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân cả hai vế của phương trình với

12

$12$ .

12 \frac{sin (B)}{12} = 12 \frac{sin (48)}{10}

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 4.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung

12

$12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 4.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn

$12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$12$ .

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 4.2.2.1.1.2

Đưa

$2$ ra ngoài

$10$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Bước 4.2.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Bước 4.2.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Bước 4.2.2.1.2

Kết hợp

$6$ và

$\frac{\sin (48)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Bước 4.2.2.1.3

Tính

$\sin (48)$ .

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Bước 4.2.2.1.4

Nhân

$6$ với

$0.74314482$ .

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Bước 4.2.2.1.5

Chia

$4.45886895$ cho

$5$ .

$\sin (B) = 0.89177379$

Bước 4.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất

$B$ từ trong hàm sin.

$B = \arcsin (0.89177379)$

Bước 4.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Tính

$\arcsin (0.89177379)$ .

$B = 63.09699387$

Bước 4.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi

$180$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$B = 180 - 63.09699387$

Bước 4.6

Trừ

$63.09699387$ khỏi

$180$ .

$B = 116.90300612$

Bước 4.7

Đáp án của phương trình

$B = 63.09699387$ .

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Bước 5

Tổng của tất cả các góc trong một tam giác là

$180$ độ.

$48 + C + 63.09699387 = 180$

Bước 6

Giải phương trình để tìm

$C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng

$48$ và

$63.09699387$ .

$C + 111.09699387 = 180$

Bước 6.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa

$C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ

$111.09699387$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 180 - 111.09699387$

Bước 6.2.2

Trừ

$111.09699387$ khỏi

$180$ .

$C = 68.90300612$

Bước 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Bước 8

Thay các giá trị đã biết vào định luật của sin để tìm

$c$ .

$\frac{\sin (68.90300612)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 9

Giải phương trình để tìm

$c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính

$\sin (68.90300612)$ .

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 9.1.2

Tính

$\sin (48)$ .

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Bước 9.1.3

Chia

$0.74314482$ cho

$10$ .

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$

Bước 9.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$c, 1$

Bước 9.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$c$

Bước 9.3

Nhân mỗi số hạng trong

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ với

$c$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân mỗi số hạng trong

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ với

$c$ .

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Bước 9.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Bước 9.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$0.93297242 = 0.07431448 c$

Bước 9.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Viết lại phương trình ở dạng

$0.07431448 c = 0.93297242$ .

$0.07431448 c = 0.93297242$

Bước 9.4.2

Chia mỗi số hạng trong

$0.07431448 c = 0.93297242$ cho

$0.07431448$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong

$0.07431448 c = 0.93297242$ cho

$0.07431448$ .

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Bước 9.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$0.07431448$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Bước 9.4.2.2.1.2

Chia

$c$ cho

$1$ .

$c = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Bước 9.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.3.1

Chia

$0.93297242$ cho

$0.07431448$ .

$c = 12.55438226$

Bước 10

Đối với tam giác thứ hai, sử dụng giá trị thứ hai có thể của góc.

Giải tìm tam giác thứ hai.

Bước 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Bước 12

Thay các giá trị đã biết vào định luật của sin để tìm

$B$ .

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 13

Giải phương trình để tìm

$B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân cả hai vế của phương trình với

$12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 13.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung

$12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 13.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 13.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1

Rút gọn

$12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1.1.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$12$ .

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 13.2.2.1.1.2

Đưa

$2$ ra ngoài

$10$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Bước 13.2.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Bước 13.2.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Bước 13.2.2.1.2

Kết hợp

$6$ và

$\frac{\sin (48)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Bước 13.2.2.1.3

Tính

$\sin (48)$ .

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Bước 13.2.2.1.4

Nhân

$6$ với

$0.74314482$ .

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Bước 13.2.2.1.5

Chia

$4.45886895$ cho

$5$ .

$\sin (B) = 0.89177379$

Bước 13.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất

$B$ từ trong hàm sin.

$B = \arcsin (0.89177379)$

Bước 13.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Tính

$\arcsin (0.89177379)$ .

$B = 63.09699387$

Bước 13.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi

$180$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$B = 180 - 63.09699387$

Bước 13.6

Trừ

$63.09699387$ khỏi

$180$ .

$B = 116.90300612$

Bước 13.7

Đáp án của phương trình

$B = 63.09699387$ .

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Bước 14

Tổng của tất cả các góc trong một tam giác là

$180$ độ.

$48 + C + 116.90300612 = 180$

Bước 15

Giải phương trình để tìm

$C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Cộng

$48$ và

$116.90300612$ .

$C + 164.90300612 = 180$

Bước 15.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa

$C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Trừ

$164.90300612$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 180 - 164.90300612$

Bước 15.2.2

Trừ

$164.90300612$ khỏi

$180$ .

$C = 15.09699387$

Bước 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Bước 17

Thay các giá trị đã biết vào định luật của sin để tìm

$c$ .

$\frac{\sin (15.09699387)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 18

Giải phương trình để tìm

$c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Tính

$\sin (15.09699387)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Bước 18.1.2

Tính

$\sin (48)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Bước 18.1.3

Chia

$0.74314482$ cho

$10$ .

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$

Bước 18.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$c, 1$

Bước 18.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$c$

Bước 18.3

Nhân mỗi số hạng trong

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ với

$c$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nhân mỗi số hạng trong

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ với

$c$ .

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Bước 18.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Bước 18.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$0.26045385 = 0.07431448 c$

Bước 18.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Viết lại phương trình ở dạng

$0.07431448 c = 0.26045385$ .

$0.07431448 c = 0.26045385$

Bước 18.4.2

Chia mỗi số hạng trong

$0.07431448 c = 0.26045385$ cho

$0.07431448$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong

$0.07431448 c = 0.26045385$ cho

$0.07431448$ .

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Bước 18.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$0.07431448$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Bước 18.4.2.2.1.2

Chia

$c$ cho

$1$ .

$c = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Bước 18.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.2.3.1

Chia

$0.26045385$ cho

$0.07431448$ .

$c = 3.50475229$

Bước 19

Đây là kết quả cho tất cả các góc và cạnh của tam giác đã cho.

Phép kết hợp tam giác đầu tiên:

$A = 48$

$B = 63.09699387$

$C = 68.90300612$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 12.55438226$

Phép kết hợp tam giác thứ hai:

$A = 48$

$B = 116.90300612$

$C = 15.09699387$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 3.50475229$