Lượng giác Ví dụ

${(\sqrt{3} + i)}^{4}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

${\sqrt{3}}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{4}$ ở dạng $3^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$3^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$3^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$3^{2} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$9 + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{3}} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$9 + 4 \sqrt{27} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.5

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$9 + 4 \sqrt{9 (3)} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.5.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$9 + 4 (3 \sqrt{3}) i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.7

Nhân $3$ với $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.8

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.8.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.8.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.8.4.2

Viết lại biểu thức.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{1} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.8.5

Tính số mũ.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3 i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.9

Nhân $6$ với $3$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.10

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 \cdot - 1 + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.11

Nhân $18$ với $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

Bước 2.1.12

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Bước 2.1.13

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Bước 2.1.14

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- i) + i^{4}$

Bước 2.1.15

Nhân $- 1$ với $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + i^{4}$

Bước 2.1.16

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.16.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2}$

Bước 2.1.16.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2}$

Bước 2.1.16.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $18$ khỏi $9$ .

$12 \sqrt{3} i - 9 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Bước 2.2.2

Trừ $4 \sqrt{3} i$ khỏi $12 \sqrt{3} i$ .

$8 \sqrt{3} i - 9 + 1$

Bước 2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Cộng $- 9$ và $1$ .

$8 \sqrt{3} i - 8$

Bước 2.2.3.2

Sắp xếp lại $8 \sqrt{3} i$ và $- 8$ .

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$