Lượng giác Ví dụ

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y - 32 = 0$

Bước 1

Cộng $32$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y = 32$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $3 x^{2} + 12 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 3$

$b = 12$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 3}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (3)}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{6}{3}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$d = \frac{3 \cdot 2}{3}$

Bước 2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Bước 2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{2}{1}$

Bước 2.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$d = 2$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 3}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Bước 2.4.2.1.3

Chia $144$ cho $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Bước 2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $12$ .

$e = 0 - 12$

Bước 2.4.2.2

Trừ $12$ khỏi $0$ .

$e = - 12$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ .

$3 {(x + 2)}^{2} - 12$

Bước 3

Thay $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ cho $3 x^{2} + 12 x$ trong phương trình $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} - 12 + 4 y^{2} - 8 y = 32$

Bước 4

Di chuyển $- 12$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $12$ vào cả hai vế.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = 32 + 12$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $4 y^{2} - 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Bước 5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 4}{4}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Bước 5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{1}$

Bước 5.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Bước 5.4.2.1.3

Chia $64$ cho $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Bước 5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 0 - 4$

Bước 5.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$e = - 4$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Bước 6

Thay $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ cho $4 y^{2} - 8 y$ trong phương trình $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y = 32$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = 32 + 12$

Bước 7

Di chuyển $- 4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 32 + 12 + 4$

Bước 8

Rút gọn $32 + 12 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $32$ và $12$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 44 + 4$

Bước 8.2

Cộng $44$ và $4$ .

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 48$

Bước 9

Chia mỗi số hạng cho $48$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{3 {(x + 2)}^{2}}{48} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

Bước 10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$