Lượng giác Ví dụ

$y = \frac{1}{2} \arccos (π x) - 3$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arccos (π y)$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} - 3 = x$

Bước 2.3

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{\arccos (π y)}{2} = x + 3$

Bước 2.4

Nhân cả hai vế với $2$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Bước 2.5.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\arccos (π y) = (x + 3) \cdot 2$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn $(x + 3) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\arccos (π y) = x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

Bước 2.5.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.2.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\arccos (π y) = 2 \cdot x + 3 \cdot 2$

Bước 2.5.2.1.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\arccos (π y) = 2 x + 6$

Bước 2.6

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Lấy nghịch đảo arccosin của cả hai vế của phương trình để rút $y$ từ bên trong arccosin.

$π y = \cos (2 x + 6)$

Bước 2.6.2

Chia mỗi số hạng trong $π y = \cos (2 x + 6)$ cho $π$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $π y = \cos (2 x + 6)$ cho $π$ .

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Bước 2.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Bước 2.6.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) + 6)}{π}$

Bước 4.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arccos (π x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2} - 3) + 6)}{π}$

Bước 4.2.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Bước 4.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Bước 4.2.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Bước 4.2.3.1.4

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) - 6 + 6)}{π}$

Bước 4.2.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\arccos (π x) - 6 + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Cộng $- 6$ và $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 0)}{π}$

Bước 4.2.3.2.2

Cộng $\arccos (π x)$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x))}{π}$

Bước 4.2.3.3

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Bước 4.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Bước 4.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (\cos (2 x + 6)) - 3$

Bước 4.3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arccos (\cos (2 x + 6))$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 6))}{2} - 3$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$