Lượng giác Ví dụ

$9 y^{2} + 41 = 4 x^{2} + 54 y + 8 x$

Bước 1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $4 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} = 54 y + 8 x$

Bước 1.2

Trừ $54 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y = 8 x$

Bước 1.3

Trừ $8 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y - 8 x = 0$

Bước 1.4

Di chuyển $41$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 54 y - 8 x + 41 = 0$

Bước 1.5

Di chuyển $- 54 y$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

Bước 1.6

Sắp xếp lại $9 y^{2}$ và $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

Bước 2

Trừ $41$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$

Bước 3

Hoàn thành bình phương cho $- 4 x^{2} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Bước 3.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 3.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 4}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

Bước 3.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 4)}$

Bước 3.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

Bước 3.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

Bước 3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

Bước 3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = 1$

Bước 3.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Bước 3.4.2.1.3

Chia $64$ cho $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Bước 3.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Bước 3.4.2.2

Cộng $0$ và $4$ .

$e = 4$

Bước 3.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$

Bước 4

Thay $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ cho $- 4 x^{2} - 8 x$ trong phương trình $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4 + 9 y^{2} - 54 y = - 41$

Bước 5

Di chuyển $4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} - 54 y = - 41 - 4$

Bước 6

Hoàn thành bình phương cho $9 y^{2} - 54 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Bước 6.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 6.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 54$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Bước 6.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Bước 6.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Bước 6.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 27}{9}$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 27$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Bước 6.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Bước 6.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Bước 6.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 3}{1}$

Bước 6.3.2.2.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$d = - 3$

Bước 6.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Nâng $- 54$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Bước 6.4.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Bước 6.4.2.1.3

Chia $2916$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Bước 6.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $81$ .

$e = 0 - 81$

Bước 6.4.2.2

Trừ $81$ khỏi $0$ .

$e = - 81$

Bước 6.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y - 3)}^{2} - 81$

Bước 7

Thay $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ cho $9 y^{2} - 54 y$ trong phương trình $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} - 81 = - 41 - 4$

Bước 8

Di chuyển $- 81$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $81$ vào cả hai vế.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 41 - 4 + 81$

Bước 9

Rút gọn $- 41 - 4 + 81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Trừ $4$ khỏi $- 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 45 + 81$

Bước 9.2

Cộng $- 45$ và $81$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 36$

Bước 10

Chia mỗi số hạng cho $36$ để làm cho vế phải bằng một.

$- \frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Bước 11

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{9} = 1$