Lượng giác Ví dụ

$(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$

Bước 1

Để tìm $\cos (θ)$ giữa trục x và đường thẳng giữa các điểm $(0, 0)$ và $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ , hãy vẽ tam giác giữa ba điểm $(0, 0)$ , $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, 0)$ , và $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ .

Đối nhau : $\frac{1}{2}$

Góc kề: $- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Bước 2

Tìm cạnh huyền bằng định lý Pytago $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{{(- (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.2.6.5

Tính số mũ.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.5.2

Nhân $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.6

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{6^{1}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.6.5

Tính số mũ.

$\sqrt{\frac{6}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.8

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\sqrt{\frac{2 (3)}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{3}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 2.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Bước 2.9.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1}{2^{2}}}$

Bước 2.9.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1}{4}}$

Bước 2.10

Để viết $\frac{3}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}}$

Bước 2.11

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}}$

Bước 2.11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{4} + \frac{1}{4}}$

Bước 2.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2 + 1}{4}}$

Bước 2.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\sqrt{\frac{6 + 1}{4}}$

Bước 2.13.2

Cộng $6$ và $1$ .

$\sqrt{\frac{7}{4}}$

Bước 2.14

Viết lại $\sqrt{\frac{7}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

Bước 2.15

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 2.15.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

Bước 3

$\cos (θ) = \frac{Góc kề}{Cạnh huyền}$ do đó $\cos (θ) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$

Bước 4

Rút gọn $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.3.6.5

Tính số mũ.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$ vào tử số.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Bước 4.4.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = - \sqrt{3} \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Bước 4.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\cos (θ) = - \sqrt{2 \cdot 3} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Bước 4.6

Nhân $2$ với $3$ .

$\cos (θ) = - \sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Bước 4.7

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{7}}$ và $\sqrt{6}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Bước 4.8

Nhân $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ với $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Bước 4.9

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Nhân $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ với $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Bước 4.9.2

Nâng $\sqrt{7}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Bước 4.9.3

Nâng $\sqrt{7}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Bước 4.9.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Bước 4.9.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Bước 4.9.6

Viết lại ${\sqrt{7}}^{2}$ ở dạng $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7}$ ở dạng $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.9.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.9.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.9.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.9.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Bước 4.9.6.5

Tính số mũ.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Bước 4.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Bước 4.10.2

Nhân $6$ với $7$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{42}}{7}$

Bước 5

Tính xấp xỉ kết quả.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{42}}{7} \approx - 0.92582009$