Lượng giác Ví dụ

$C = 127.5$ , $a = 6$ , $b = 10.74$

Bước 1

Sử dụng định lý cosin để tìm cạnh chưa biết của tam giác, bằng hai cạnh còn lại và góc được bao gồm.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Bước 2

Giải phương trình.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Bước 3

Thay các giá trị đã biết vào phương trình.

$c = \sqrt{{(6)}^{2} + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10.74 \cos (127.5)}$

Bước 4

Rút gọn các kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

Bước 4.2

Nâng $10.74$ lên lũy thừa $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

Bước 4.3

Nhân $- 2 \cdot 6 \cdot 10.74$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 2$ với $6$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 12 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

Bước 4.3.2

Nhân $- 12$ với $10.74$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (127.5)}$

Bước 4.4

Giá trị chính xác của $\cos (127.5)$ là $- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại $127.5$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (\frac{255}{2})}$

Bước 4.4.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

Bước 4.4.3

Thay đổi $\pm$ thành $-$ vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

Bước 4.4.4

Rút gọn $- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1

Giá trị chính xác của $\cos (255)$ là $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.2

Chia $75$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (30 + 45)}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.3

Áp dụng đẳng thức cộng của góc $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (30)$ là $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45))}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.8

Rút gọn $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1.8.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1.8.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.8.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.8.1.1.3

Nhân $3$ với $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.8.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.8.1.2

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1.8.1.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.8.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}})}$

Bước 4.4.4.1.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Bước 4.4.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Bước 4.4.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}}{2}})}$

Bước 4.4.4.4

Viết lại $\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Bước 4.4.4.4.2

Nhân $- - \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Bước 4.4.4.4.2.2

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Bước 4.4.4.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}})}$

Bước 4.4.4.6

Nhân $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.6.1

Nhân $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}})}$

Bước 4.4.4.6.2

Nhân $4$ với $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}})}$

Bước 4.4.4.7

Viết lại $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}})}$

Bước 4.4.4.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.8.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.8.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}})}$

Bước 4.4.4.8.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}$

Bước 4.4.4.8.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}})}$

Bước 4.4.4.9

Nhân $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- (\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}$

Bước 4.4.4.10

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.10.1

Nhân $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}$

Bước 4.4.4.10.2

Di chuyển $\sqrt{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

Bước 4.4.4.10.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

Bước 4.4.4.10.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

Bước 4.4.4.10.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}$

Bước 4.4.4.10.6

Cộng $1$ và $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}$

Bước 4.4.4.10.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.10.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

Bước 4.4.4.10.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

Bước 4.4.4.10.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

Bước 4.4.4.10.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.10.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

Bước 4.4.4.10.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

Bước 4.4.4.10.7.5

Tính số mũ.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

Bước 4.4.4.11

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2})}$

Bước 4.4.4.12

Nhân $2$ với $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

Bước 4.5

Nhân $- 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $- 128.88$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 128.88 (\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

Bước 4.5.2

Kết hợp $128.88$ và $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{128.88 \sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}}$

Bước 4.5.3

Nhân $128.88$ với $\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{313.82869188}{4}}$

Bước 4.6

Chia $313.82869188$ cho $4$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 78.45717297}$

Bước 4.7

Cộng $36$ và $115.3476$ .

$c = \sqrt{151.3476 + 78.45717297}$

Bước 4.8

Cộng $151.3476$ và $78.45717297$ .

$c = \sqrt{229.80477297}$

Bước 4.9

Tính nghiệm.

$c = 15.15931307$

Bước 5

Quy luật của sin dựa trên tỉ lệ của các cạnh và góc trong hình tam giác. Quy luật nói rằng đối với các góc của một tam giác không phải tam giác vuông, mỗi góc của tam giác có cùng tỉ lệ của số đo góc với giá trị sin.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Bước 6

Thay các giá trị đã biết vào định luật của sin để tìm $A$ .

$\frac{\sin (A)}{6} = \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Bước 7

Giải phương trình để tìm $A$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $6$ .

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Bước 7.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Bước 7.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (A) = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Rút gọn $6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Tính $\sin (127.5)$ .

$\sin (A) = 6 (\frac{0.79335334}{15.15931307})$

Bước 7.2.2.1.2

Chia $0.79335334$ cho $15.15931307$ .

$\sin (A) = 6 \cdot 0.05233438$

Bước 7.2.2.1.3

Nhân $6$ với $0.05233438$ .

$\sin (A) = 0.31400631$

Bước 7.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $A$ từ trong hàm sin.

$A = \arcsin (0.31400631)$

Bước 7.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Tính $\arcsin (0.31400631)$ .

$A = 18.30083638$

Bước 7.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $180$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$A = 180 - 18.30083638$

Bước 7.6

Trừ $18.30083638$ khỏi $180$ .

$A = 161.69916361$

Bước 7.7

Đáp án của phương trình $A = 18.30083638$ .

$A = 18.30083638, 161.69916361$

Bước 7.8

Loại trừ tam giác không hợp lệ.

$A = 18.30083638$

Bước 8

Tổng của tất cả các góc trong một tam giác là $180$ độ.

$18.30083638 + 127.5 + B = 180$

Bước 9

Giải phương trình để tìm $B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $18.30083638$ và $127.5$ .

$145.80083638 + B = 180$

Bước 9.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $B$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Trừ $145.80083638$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$B = 180 - 145.80083638$

Bước 9.2.2

Trừ $145.80083638$ khỏi $180$ .

$B = 34.19916361$

Bước 10

Đây là kết quả cho tất cả các góc và cạnh của tam giác đã cho.

$A = 18.30083638$

$B = 34.19916361$

$C = 127.5$

$a = 6$

$b = 10.74$

$c = 15.15931307$