Lượng giác Ví dụ

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$

Bước 1

Nhân $\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ với $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}} \cdot \frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ với $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{(5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}$

Bước 2.2

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{25 {\sqrt{15}}^{2} - 25 \sqrt{75} i + 25 i \sqrt{75} - 25 i^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 2.3

Rút gọn.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{500}$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}$ và $500$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})$ .

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{500}$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $500$ .

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 (100)}$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 \cdot 100}$

Bước 2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Bước 3

Khai triển $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{15} - i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.2

Nhân $5$ với $15$ .

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.3

Viết lại $75$ ở dạng $5^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Đưa $25$ ra ngoài $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.3.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.5

Nhân $\sqrt{5} (- i \sqrt{5})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.5.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.6.5

Tính số mũ.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5 + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.7

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.8

Nhân $i \sqrt{15} \sqrt{15}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Nâng $\sqrt{15}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.8.2

Nâng $\sqrt{15}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.8.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.8.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.9

Viết lại ${\sqrt{15}}^{2}$ ở dạng $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{15}$ ở dạng $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.9.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.9.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.9.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.9.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.9.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.9.5

Tính số mũ.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15 + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.10

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $i$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 \cdot i + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.11

Nhân $i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.11.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i) \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.11.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.11.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{1 + 1} \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.11.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{2} \sqrt{5})}{100}$

Bước 4.1.11.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{15 \cdot 5}}{100}$

Bước 4.1.11.6

Nhân $15$ với $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{75}}{100}$

Bước 4.1.12

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - - 1 \sqrt{75}}{100}$

Bước 4.1.13

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 1 \sqrt{75}}{100}$

Bước 4.1.14

Nhân $\sqrt{75}$ với $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{75}}{100}$

Bước 4.1.15

Viết lại $75$ ở dạng $5^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.15.1

Đưa $25$ ra ngoài $75$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{25 (3)}}{100}$

Bước 4.1.15.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{100}$

Bước 4.1.16

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 5 \sqrt{3}}{100}$

Bước 4.2

Cộng $5 \sqrt{3}$ và $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 5 i + 15 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

Bước 4.3

Cộng $- 5 i$ và $15 i$ .

$\frac{10 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

Bước 5

Sắp xếp lại $10 i$ và $10 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 \sqrt{3} + 10 i}{100}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung của $10 \sqrt{3} + 10 i$ và $100$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $10$ ra ngoài $10 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 i}{100}$

Bước 6.2

Đưa $10$ ra ngoài $10 i$ .

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 (i)}{100}$

Bước 6.3

Đưa $10$ ra ngoài $10 (\sqrt{3}) + 10 (i)$ .

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{100}$

Bước 6.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $10$ ra ngoài $100$ .

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 (10)}$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 \cdot 10}$

Bước 6.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{3} + i}{10}$