Lượng giác Ví dụ

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

Bước 1

Thay $\frac{π}{6}$ bằng $f (x)$ .

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ .

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

Bước 2.2

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

Bước 2.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

Bước 2.4

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

Bước 2.4.2

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Trừ $\frac{π}{6}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

Bước 2.4.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

Bước 2.4.3

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $6$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Bước 2.4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Nhân $2$ với $6$ .

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Bước 2.4.3.2.2

Nhân $- 2$ với $6$ .

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Bước 2.4.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{6}$ vào tử số.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Bước 2.4.3.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Bước 2.4.3.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

Bước 2.4.3.2.4

Nhân $6$ với $1$ .

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

Bước 2.4.3.3

Sắp xếp lại $12 u$ và $- 12 u^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

Bước 2.4.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.4.5

Thay các giá trị $a = - 12$ , $b = 12$ , và $c = - π + 6$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.6.1.2

Nhân $- 4$ với $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.6.1.4

Nhân $- 1$ với $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.6.1.5

Nhân $48$ với $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.6.1.6

Cộng $144$ và $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.6.2

Nhân $2$ với $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Bước 2.4.6.3

Rút gọn $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Bước 2.4.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.7.1.2

Nhân $- 4$ với $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.7.1.4

Nhân $- 1$ với $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.7.1.5

Nhân $48$ với $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.7.1.6

Cộng $144$ và $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.7.2

Nhân $2$ với $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Bước 2.4.7.3

Rút gọn $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Bước 2.4.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Bước 2.4.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.8.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.8.1.2

Nhân $- 4$ với $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.8.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.8.1.4

Nhân $- 1$ với $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.8.1.5

Nhân $48$ với $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.8.1.6

Cộng $144$ và $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Bước 2.4.8.2

Nhân $2$ với $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Bước 2.4.8.3

Rút gọn $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Bước 2.4.8.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Bước 2.4.9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Bước 2.4.10

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Bước 2.4.11

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Bước 2.4.12

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.12.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Bước 2.4.12.2

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Bước 2.4.12.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Bước 2.4.12.4

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.12.4.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.4.12.4.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.4.12.4.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.4.12.4.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.4.12.5

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.4.13

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.13.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Bước 2.4.13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.13.2.1

Tính $\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ .

$x = - 0.2000451$

Bước 2.4.13.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Bước 2.4.13.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.13.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

Bước 2.4.13.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Bước 2.4.13.4.3

Cộng $3.14159265$ và $0.2000451$ .

$x = 3.34163776$

Bước 2.4.13.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.4.13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.4.13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.4.13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.4.13.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.13.6.1

Cộng $2 π$ vào $- 0.2000451$ để tìm góc dương.

$- 0.2000451 + 2 π$

Bước 2.4.13.6.2

Trừ $0.2000451$ khỏi $2 π$ .

$6.08314019$

Bước 2.4.13.6.3

Liệt kê các góc mới.

$x = 6.08314019$

Bước 2.4.13.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.4.14

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$