Lượng giác Ví dụ

$(5, 3)$ , $(0, 53)$

Bước 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Find the dot product.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 5 \cdot 0 + 3 \cdot 53$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $5$ với $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 3 \cdot 53$

Bước 2.2.1.2

Nhân $3$ với $53$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 159$

Bước 2.2.2

Cộng $0$ và $159$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 159$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2} + 3^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 3^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 9}$

Bước 3.2.3

Cộng $25$ và $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{34}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 53^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 53^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $53$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 2809}$

Bước 4.2.3

Cộng $0$ và $2809$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2809}$

Bước 4.2.4

Viết lại $2809$ ở dạng $53^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{53^{2}}$

Bước 4.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| b⃗ | = 53$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{159}{\sqrt{34} \cdot 53})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $159$ và $53$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $53$ ra ngoài $159$ .

$θ = \arccos (\frac{53 \cdot 3}{\sqrt{34} \cdot 53})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $53$ ra ngoài $\sqrt{34} \cdot 53$ .

$θ = \arccos (\frac{53 \cdot 3}{53 \cdot \sqrt{34}})$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{53 \cdot 3}{53 \cdot \sqrt{34}})$

Bước 6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{3}{\sqrt{34}})$

Bước 6.2

Nhân $\frac{3}{\sqrt{34}}$ với $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{3}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Bước 6.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{3}{\sqrt{34}}$ với $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}})$

Bước 6.3.2

Nâng $\sqrt{34}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}})$

Bước 6.3.3

Nâng $\sqrt{34}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}})$

Bước 6.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}})$

Bước 6.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}})$

Bước 6.3.6

Viết lại ${\sqrt{34}}^{2}$ ở dạng $34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{34}$ ở dạng $34^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{34^{1}})$

Bước 6.3.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{34})$

Bước 6.4

Tính $\arccos (\frac{3 \sqrt{34}}{34})$ .

$θ = 59.03624346$