Lượng giác Ví dụ

$(1, 2)$ , $(- 2, - 4)$

Bước 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Find the dot product.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 + 2 \cdot - 4$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 2 \cdot - 4$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 8$

Bước 2.2.2

Trừ $8$ khỏi $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Bước 3.2.3

Cộng $1$ và $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 4)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Bước 4.2.3

Cộng $4$ và $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Bước 4.2.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Bước 4.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{- 10}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $\sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Bước 6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{\sqrt{5} (\sqrt{5})})$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Bước 6.2.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Bước 6.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Bước 6.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Bước 6.3

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{1}})$

Bước 6.3.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

Bước 6.4

Chia $- 5$ cho $5$ .

$θ = \arccos (- 1)$

Bước 6.5

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $180$ .

$θ = 180$