Lượng giác Ví dụ

$(1, \frac{5}{3})$ , $(1, - 8)$

Bước 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Find the dot product.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Bước 2.2.1.2

Nhân $\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $5$ với $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Bước 2.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Bước 2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Bước 2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Bước 2.2.4

Trừ $40$ khỏi $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Bước 2.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{3}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Bước 3.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Bước 3.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Bước 3.2.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Bước 3.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Bước 3.2.7

Cộng $9$ và $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Bước 3.2.8

Viết lại $\sqrt{\frac{34}{9}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Bước 3.2.9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Bước 3.2.9.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Bước 4.2.3

Cộng $1$ và $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{34}}{3}$ và $\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Bước 6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Bước 6.3.2

Nhân $34$ với $65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Bước 6.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Bước 6.5

Nhân $\frac{3}{\sqrt{2210}}$ với $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Bước 6.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{37}{3}$ vào tử số.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Bước 6.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Bước 6.6.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Bước 6.7

Kết hợp $- 37$ và $\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Bước 6.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Bước 6.9

Nhân $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ với $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Bước 6.10

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1

Nhân $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ với $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Bước 6.10.2

Nâng $\sqrt{2210}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Bước 6.10.3

Nâng $\sqrt{2210}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Bước 6.10.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Bước 6.10.5

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Bước 6.10.6

Viết lại ${\sqrt{2210}}^{2}$ ở dạng $2210$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2210}$ ở dạng $2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.10.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.10.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.10.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.10.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Bước 6.10.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Bước 6.11

Tính $\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$