Lượng giác Ví dụ

$(0, 9)$ , $(5, 80)$

Bước 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Find the dot product.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 5 + 9 \cdot 80$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $0$ với $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 9 \cdot 80$

Bước 2.2.1.2

Nhân $9$ với $80$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 720$

Bước 2.2.2

Cộng $0$ và $720$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 720$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 9^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 81}$

Bước 3.2.3

Cộng $0$ và $81$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81}$

Bước 3.2.4

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2}}$

Bước 3.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| a⃗ | = 9$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 80^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 80^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $80$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 6400}$

Bước 4.2.3

Cộng $25$ và $6400$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6425}$

Bước 4.2.4

Viết lại $6425$ ở dạng $5^{2} \cdot 257$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đưa $25$ ra ngoài $6425$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (257)}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 257}$

Bước 4.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{257}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{720}{9 (5 \sqrt{257})})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $720$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $720$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 80}{9 (5 \sqrt{257})})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 80}{9 (5 \sqrt{257})})$

Bước 6.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{80}{5 \sqrt{257}})$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $80$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 \sqrt{257}})$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 \sqrt{257}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 (\sqrt{257})})$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 \sqrt{257}})$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{16}{\sqrt{257}})$

Bước 6.3

Nhân $\frac{16}{\sqrt{257}}$ với $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16}{\sqrt{257}} \cdot \frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}})$

Bước 6.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{16}{\sqrt{257}}$ với $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{\sqrt{257} \sqrt{257}})$

Bước 6.4.2

Nâng $\sqrt{257}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} \sqrt{257}})$

Bước 6.4.3

Nâng $\sqrt{257}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} {\sqrt{257}}^{1}})$

Bước 6.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1 + 1}})$

Bước 6.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{2}})$

Bước 6.4.6

Viết lại ${\sqrt{257}}^{2}$ ở dạng $257$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{257}$ ở dạng $257^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{(257^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{1}})$

Bước 6.4.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257})$

Bước 6.5

Tính $\arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257})$ .

$θ = 3.57633437$