Lượng giác Ví dụ

$\log_{2} (2 x^{2} + 24 x + 72)$

Bước 1

Tìm các tiệm cận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt đối số của logarit bằng 0.

$2 x^{2} + 24 x + 72 = 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} + 24 x + 72$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 24 x + 72 = 0$

Bước 1.2.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $24 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (12 x) + 72 = 0$

Bước 1.2.1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $72$ .

$2 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Bước 1.2.1.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} + 2 (12 x)$ .

$2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Bước 1.2.1.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Bước 1.2.1.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.2.1

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Bước 1.2.1.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Bước 1.2.1.2.3

Viết lại đa thức này.

$2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Bước 1.2.1.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 6$ .

$2 {(x + 6)}^{2} = 0$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Chia ${(x + 6)}^{2}$ cho $1$ .

${(x + 6)}^{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Bước 1.2.3

Đặt $x + 6$ bằng $0$ .

$x + 6 = 0$

Bước 1.2.4

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 6$

Bước 1.3

Tiệm cận đứng xảy ra tại $x = - 6$ .

Tiệm cận đứng: $x = - 6$

Bước 2

Tìm một điểm tại $x = - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 5$ trong biểu thức.

$f (- 5) = \log_{2} (2 {(- 5)}^{2} + 24 (- 5) + 72)$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 \cdot 25 + 24 (- 5) + 72)$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $25$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 + 24 (- 5) + 72)$

Bước 2.2.1.3

Nhân $24$ với $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 - 120 + 72)$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ $120$ khỏi $50$ .

$f (- 5) = \log_{2} (- 70 + 72)$

Bước 2.2.2.2

Cộng $- 70$ và $72$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2)$

Bước 2.2.3

Logarit cơ số $2$ của $2$ là $1$ .

$f (- 5) = 1$

Bước 2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 2.3

Quy đổi $1$ thành số thập phân.

$y = 1$

Bước 3

Tìm một điểm tại $x = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = \log_{2} (2 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) + 72)$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 \cdot 16 + 24 (- 4) + 72)$

Bước 3.2.1.2

Nhân $2$ với $16$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 + 24 (- 4) + 72)$

Bước 3.2.1.3

Nhân $24$ với $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 - 96 + 72)$

Bước 3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Trừ $96$ khỏi $32$ .

$f (- 4) = \log_{2} (- 64 + 72)$

Bước 3.2.2.2

Cộng $- 64$ và $72$ .

$f (- 4) = \log_{2} (8)$

Bước 3.2.3

Logarit cơ số $2$ của $8$ là $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Viết lại ở dạng một phương trình.

$\log_{2} (8) = x$

Bước 3.2.3.2

Viết lại $\log_{2} (8) = x$ ở dạng hàm mũ bằng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là số thực dương và $b$ không bằng $1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ tương đương với $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Bước 3.2.3.3

Tạo các biểu thức tương ứng trong phương trình sao cho tất cả đều có cơ số bằng nhau.

$2^{x} = 2^{3}$

Bước 3.2.3.4

Vì các cơ số giống nhau, hai biểu thức chỉ bằng nhau khi các số mũ cũng bằng nhau.

$x = 3$

Bước 3.2.3.5

Biến $x$ bằng $3$ .

$f (- 4) = 3$

Bước 3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $3$ .

$3$

Bước 3.3

Quy đổi $3$ thành số thập phân.

$y = 3$

Bước 4

Tìm một điểm tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = \log_{2} (2 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 72)$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 \cdot 4 + 24 (- 2) + 72)$

Bước 4.2.1.2

Nhân $2$ với $4$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 + 24 (- 2) + 72)$

Bước 4.2.1.3

Nhân $24$ với $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 - 48 + 72)$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $48$ khỏi $8$ .

$f (- 2) = \log_{2} (- 40 + 72)$

Bước 4.2.2.2

Cộng $- 40$ và $72$ .

$f (- 2) = \log_{2} (32)$

Bước 4.2.3

Logarit cơ số $2$ của $32$ là $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Viết lại ở dạng một phương trình.

$\log_{2} (32) = x$

Bước 4.2.3.2

Viết lại $\log_{2} (32) = x$ ở dạng hàm mũ bằng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là số thực dương và $b$ không bằng $1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ tương đương với $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 32$

Bước 4.2.3.3

Tạo các biểu thức tương ứng trong phương trình sao cho tất cả đều có cơ số bằng nhau.

$2^{x} = 2^{5}$

Bước 4.2.3.4

Vì các cơ số giống nhau, hai biểu thức chỉ bằng nhau khi các số mũ cũng bằng nhau.

$x = 5$

Bước 4.2.3.5

Biến $x$ bằng $5$ .

$f (- 2) = 5$

Bước 4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $5$ .

$5$

Bước 4.3

Quy đổi $5$ thành số thập phân.

$y = 5$

Bước 5

Hàm logarit có thể được vẽ bằng tiệm cận đứng tại $x = - 6$ và các điểm $(- 5, 1), (- 4, 3), (- 2, 5)$ .

Tiệm cận đứng: $x = - 6$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 1 \\ - 4 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}$

Bước 6