Lượng giác Ví dụ

$x^{2} + y^{2} - x + \frac{5}{3} y - \frac{8}{3} = 0$

Bước 1

Cộng $\frac{8}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + y^{2} - x + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3}$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 1$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{1}{2}$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Bước 2.4.2.2

Trừ $\frac{1}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Bước 3

Thay ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ cho $x^{2} - x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - x + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3}$

Bước 4

Di chuyển $- \frac{1}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{1}{4}$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3} + \frac{1}{4}$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} + \frac{5}{3} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $y$ .

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

Bước 5.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Bước 5.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.4.2.3

Nhân $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.1

Nhân $\frac{5}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Bước 5.4.2.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Bước 5.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.2.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Bước 5.5.2.1.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 5.5.2.1.4

Nhân $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.4.1

Nhân $\frac{25}{9}$ với $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Bước 5.5.2.1.4.2

Nhân $9$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Bước 5.5.2.2

Trừ $\frac{25}{36}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Bước 5.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ .

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Bước 6

Thay ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ cho $y^{2} + \frac{5}{3} y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - x + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{8}{3} + \frac{1}{4}$

Bước 7

Di chuyển $- \frac{25}{36}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{25}{36}$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8}{3} + \frac{1}{4} + \frac{25}{36}$

Bước 8

Rút gọn $\frac{8}{3} + \frac{1}{4} + \frac{25}{36}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $\frac{8}{3}$ với $\frac{12}{12}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8}{3} \cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{36}$

Bước 8.1.2

Nhân $\frac{8}{3}$ với $\frac{12}{12}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{3 \cdot 12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{36}$

Bước 8.1.3

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{3 \cdot 12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

Bước 8.1.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{3 \cdot 12} + \frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Bước 8.1.5

Nhân $3$ với $12$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Bước 8.1.6

Nhân $4$ với $9$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{36} + \frac{9}{36} + \frac{25}{36}$

Bước 8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12 + 9 + 25}{36}$

Bước 8.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $8$ với $12$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{96 + 9 + 25}{36}$

Bước 8.3.2

Cộng $96$ và $9$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{105 + 25}{36}$

Bước 8.3.3

Cộng $105$ và $25$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{130}{36}$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung của $130$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $130$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{2 (65)}{36}$

Bước 8.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $36$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{2 \cdot 65}{2 \cdot 18}$

Bước 8.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{2 \cdot 65}{2 \cdot 18}$

Bước 8.4.2.3

Viết lại biểu thức.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{65}{18}$

Bước 9

Đây là dạng của một đường tròn. Sử dụng dạng này để xác định tâm và bán kính của đường tròn.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Bước 10

Tương ứng các giá trị trong đường tròn này với dạng chính tắc. Biến $r$ là bán kính của đường tròn, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$r = \frac{\sqrt{130}}{6}$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{5}{6}$

Bước 11

Tìm được tâm của đường tròn tại $(h, k)$ .

Tâm: $(\frac{1}{2}, - \frac{5}{6})$

Bước 12

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một đường tròn.

Tâm: $(\frac{1}{2}, - \frac{5}{6})$

Bán kính: $\frac{\sqrt{130}}{6}$

Bước 13