Lượng giác Ví dụ

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

Bước 1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ và có tổng là $b = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 \cos (3 x)$ .

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

Bước 1.1.2

Viết lại $5$ ở dạng $- 1$ cộng $6$

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

Bước 1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Bước 1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Bước 1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

Bước 1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 \cos (3 x) - 1$ .

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Bước 3

Đặt $2 \cos (3 x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $2 \cos (3 x) - 1$ bằng với $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

Bước 3.2

Giải $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (3 x) = 1$

Bước 3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (3 x) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (3 x) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 3.2.2.2.1.2

Chia $\cos (3 x)$ cho $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Bước 3.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 3.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Bước 3.2.5

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{π}{3}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{π}{3}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Bước 3.2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Bước 3.2.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Bước 3.2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 3.2.5.3.2

Nhân $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.3.2.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Bước 3.2.5.3.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Bước 3.2.6

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 3.2.7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 3.2.7.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 3.2.7.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 3.2.7.1.4

Nhân $3$ với $2$ .

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 3.2.7.1.5

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{3}$

Bước 3.2.7.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{5 π}{3}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{5 π}{3}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Bước 3.2.7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Bước 3.2.7.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Bước 3.2.7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 3.2.7.2.3.2

Nhân $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.3.2.1

Nhân $\frac{5 π}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

Bước 3.2.7.2.3.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$x = \frac{5 π}{9}$

Bước 3.2.8

Tìm chu kỳ của $\cos (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.2.8.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Bước 3.2.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Bước 3.2.9

Chu kỳ của hàm $\cos (3 x)$ là $\frac{2 π}{3}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{2 π}{3}$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Đặt $\cos (3 x) + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $\cos (3 x) + 3$ bằng với $0$ .

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Bước 4.2

Giải $\cos (3 x) + 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (3 x) = - 3$

Bước 4.2.2

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- 3$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

Bước 7

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 7.1.2

Thay thế $x$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

Bước 7.1.3

Vế trái $- 5.98979219$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 7.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 7.2.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

Bước 7.2.3

Vế trái $3.64470539$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 7.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 7.3.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

Bước 7.3.3

Vế trái $- 5.8953346$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 7.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Đúng

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Sai

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Đúng

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Đúng

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Sai

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Đúng

Bước 8

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ hoặc $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 9