Lượng giác Ví dụ

$2 \sin^{2} (x) > 3 \cos (x)$

Bước 1

Trừ $3 \cos (x)$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) > 0$

Bước 2

Thay thế $2 \sin^{2} (x)$ bằng $2 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Bước 3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) = 0$

Bước 4

Sắp xếp lại đa thức.

$- 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 2 = 0$

Bước 5

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u + 2 = 0$

Bước 6

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 u^{2} - 3 u + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 3 u + 2 = 0$

Bước 6.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) + 2 = 0$

Bước 6.1.3

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Bước 6.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Bước 6.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 u^{2} + 3 u) - 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Bước 6.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ và có tổng là $b = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 u$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Bước 6.2.1.1.2

Viết lại $3$ ở dạng $- 1$ cộng $4$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2) = 0$

Bước 6.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Bước 6.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Bước 6.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$- (u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)) = 0$

Bước 6.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 2)) = 0$

Bước 6.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (2 u - 1) (u + 2) = 0$

Bước 7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Bước 8

Đặt $2 u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $2 u - 1$ bằng với $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Bước 8.2

Giải $2 u - 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 u = 1$

Bước 8.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 8.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 8.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Bước 9

Đặt $u + 2$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $u + 2$ bằng với $0$ .

$u + 2 = 0$

Bước 9.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 2$

Bước 10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (2 u - 1) (u + 2) = 0$ đúng.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Bước 11

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Bước 12

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 2$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 13.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 13.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 13.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 13.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 13.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 13.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- 2$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 15

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Bước 17

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 17.1.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 \sin^{2} (3) > 3 \cos (3)$

Bước 17.1.3

Vế trái $0.03982971$ lớn hơn vế phải $- 2.96997748$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 17.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 17.2.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 \sin^{2} (6) > 3 \cos (6)$

Bước 17.2.3

Vế trái $0.15614604$ không lớn hơn vế phải $2.88051085$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 17.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 9$

Bước 17.3.2

Thay thế $x$ bằng $9$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 \sin^{2} (9) > 3 \cos (9)$

Bước 17.3.3

Vế trái $0.33968329$ lớn hơn vế phải $- 2.73339078$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 17.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Đúng

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Sai

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Đúng

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Đúng

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Sai

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Đúng

Bước 18

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{π}{3} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ hoặc $\frac{7 π}{3} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 19