Lượng giác Ví dụ

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

Bước 1

Chia mỗi số hạng trong $\tan (x) < 2 \sin (x)$ cho $\tan (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $\tan (x) < 2 \sin (x)$ cho $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Bước 1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Bước 1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Bước 1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tách các phân số.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Bước 1.3.2

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 1.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 1.3.4

Viết $\sin (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 1.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 1.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

Bước 1.3.6

Chia $2$ cho $1$ .

$1 < 2 \cos (x)$

Bước 2

Viết lại để $\cos (x)$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$2 \cos (x) > 1$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) > 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) > 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Bước 3.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

Bước 4

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x > \frac{π}{3}$

Bước 6

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 7

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 7.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 7.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 8

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 8.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 8.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 9

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Tìm tập xác định của $\tan (x) - 2 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt đối số trong $\tan (x)$ bằng $\frac{π}{2} + π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 11

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

Bước 12

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.31$

Bước 12.1.2

Thay thế $x$ bằng $1.31$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

Bước 12.1.3

Vế trái $3.74708097$ không nhỏ hơn vế phải $1.9323699$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 12.2.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

Bước 12.2.3

Vế trái $- 0.14254654$ nhỏ hơn vế phải $0.28224001$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 5$

Bước 12.3.2

Thay thế $x$ bằng $5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

Bước 12.3.3

Vế trái $- 3.380515$ nhỏ hơn vế phải $- 1.91784854$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 12.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

Bước 12.4.3

Vế trái $- 0.29100619$ không nhỏ hơn vế phải $- 0.55883099$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 7.59$

Bước 12.5.2

Thay thế $x$ bằng $7.59$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

Bước 12.5.3

Vế trái $3.69973691$ không nhỏ hơn vế phải $1.93071743$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.6

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 9$

Bước 12.6.2

Thay thế $x$ bằng $9$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

Bước 12.6.3

Vế trái $- 0.45231565$ nhỏ hơn vế phải $0.82423697$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.7

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.7.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 11$

Bước 12.7.2

Thay thế $x$ bằng $11$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

Bước 12.7.3

Vế trái $- 225.95084645$ nhỏ hơn vế phải $- 1.99998041$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.8

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Sai

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Đúng

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Đúng

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Sai

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Sai

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Đúng

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Đúng

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Sai

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Đúng

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Đúng

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Sai

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Sai

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Đúng

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Đúng

Bước 13

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Bước 14

Kết hợp các khoảng.

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15