Lượng giác Ví dụ

\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giả sử

u = \csc (x)

$u = \csc (x)$ . Thay

u

$u$ cho tất cả các lần xuất hiện của

\csc (x)

$\csc (x)$ .

u^{2} - u - 2 = 0

$u^{2} - u - 2 = 0$

Bước 1.2

Phân tích

u^{2} - u - 2

$u^{2} - u - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Xét dạng

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là

c

$c$ và tổng của chúng là

b

$b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là

- 2

$- 2$ và tổng của chúng là

- 1

$- 1$ .

- 2, 1

$- 2, 1$

Bước 1.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

u

$u$ với

\csc (x)

$\csc (x)$ .

(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng

0

$0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng

0

$0$ .

\csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

\csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Bước 3

Đặt

\csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ bằng

0

$0$ và giải tìm

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt

\csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ bằng với

0

$0$ .

\csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

Bước 3.2

Giải

\csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$ để tìm

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng

2

$2$ cho cả hai vế của phương trình.

\csc (x) = 2

$\csc (x) = 2$

Bước 3.2.2

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất

x

$x$ từ bên trong cosecant.

x = arccsc (2)

$x = arccsc (2)$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Giá trị chính xác của

arccsc (2)

$arccsc (2)$ là

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Bước 3.2.4

Hàm cosecant dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ

π

$π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

Bước 3.2.5

Rút gọn

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Để viết

π

$π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 3.2.5.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Kết hợp

π

$π$ và

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 3.2.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 3.2.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.3.1

Di chuyển

6

$6$ sang phía bên trái của

π

$π$ .

x = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 3.2.5.3.2

Trừ

π

$π$ khỏi

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 3.2.6

Tìm chu kỳ của

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.2.6.2

Thay thế

b

$b$ với

1

$1$ trong công thức cho chu kỳ.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

0

$0$ và

1

$1$ là

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.2.6.4

Chia

2 π

$2 π$ cho

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Bước 3.2.7

Chu kỳ của hàm

\csc (x)

$\csc (x)$ là

2 π

$2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi

2 π

$2 π$ radian theo cả hai hướng.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

Bước 4

Đặt

\csc (x) + 1

$\csc (x) + 1$ bằng

0

$0$ và giải tìm

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt

\csc (x) + 1

$\csc (x) + 1$ bằng với

0

$0$ .

\csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Bước 4.2

Giải

\csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$ để tìm

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ

1

$1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

\csc (x) = - 1

$\csc (x) = - 1$

Bước 4.2.2

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất

x

$x$ từ bên trong cosecant.

x = arccsc (- 1)

$x = arccsc (- 1)$

Bước 4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Giá trị chính xác của

arccsc (- 1)

$arccsc (- 1)$ là

- \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2}$ .

x = - \frac{π}{2}

$x = - \frac{π}{2}$

x = - \frac{π}{2}

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

2 π

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = 2 π + \frac{π}{2} + π

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 4.2.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Trừ

2 π

$2 π$ khỏi

2 π + \frac{π}{2} + π

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 4.2.5.2

Góc tìm được

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn

2 π

$2 π$ , và có chung cạnh cuối với

2 π + \frac{π}{2} + π

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 4.2.6

Tìm chu kỳ của

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.6.2

Thay thế

b

$b$ với

1

$1$ trong công thức cho chu kỳ.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

0

$0$ và

1

$1$ là

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.2.6.4

Chia

2 π

$2 π$ cho

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Bước 4.2.7

Cộng

2 π

$2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Cộng

2 π

$2 π$ vào

- \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

- \frac{π}{2} + 2 π

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 4.2.7.2

Để viết

2 π

$2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.7.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.3.1

Kết hợp

2 π

$2 π$ và

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.7.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 4.2.7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.4.1

Nhân

2

$2$ với

2

$2$ .

\frac{4 π - π}{2}

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 4.2.7.4.2

Trừ

π

$π$ khỏi

4 π

$4 π$ .

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

Bước 4.2.7.5

Liệt kê các góc mới.

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 4.2.8

Chu kỳ của hàm

\csc (x)

$\csc (x)$ là

2 π

$2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi

2 π

$2 π$ radian theo cả hai hướng.

x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho

(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ đúng.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên

n

$n$

Bước 6

Hợp nhất các câu trả lời.

x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên

n

$n$