Lượng giác Ví dụ

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\cot^{4} (x)$ ở dạng ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Bước 1.2

Giả sử $u = \cot^{2} (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\cot^{2} (x)$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Bước 1.3

Phân tích $u^{2} - 4 u + 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $3$ và tổng của chúng là $- 4$ .

$- 3, - 1$

Bước 1.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Bước 1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 3

Đặt $\cot^{2} (x) - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $\cot^{2} (x) - 3$ bằng với $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

Bước 3.2

Giải $\cot^{2} (x) - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cot^{2} (x) = 3$

Bước 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Bước 3.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Bước 3.2.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Bước 3.2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bước 3.2.4

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Bước 3.2.5

Giải tìm $x$ trong $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Bước 3.2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Giá trị chính xác của $arccot (\sqrt{3})$ là $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 3.2.5.3

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{6}$

Bước 3.2.5.4

Rút gọn $π + \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Bước 3.2.5.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Bước 3.2.5.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Bước 3.2.5.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.4.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Bước 3.2.5.4.3.2

Cộng $6 π$ và $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 3.2.5.5

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 3.2.5.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 3.2.5.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 3.2.5.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 3.2.5.6

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.2.6

Giải tìm $x$ trong $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Bước 3.2.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Giá trị chính xác của $arccot (- \sqrt{3})$ là $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Bước 3.2.6.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.4.1

Cộng $2 π$ vào $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Bước 3.2.6.4.2

Góc tìm được $\frac{11 π}{6}$ dương và có cùng cạnh cuối với $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 3.2.6.5

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 3.2.6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 3.2.6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 3.2.6.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 3.2.6.6

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.2.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.2.8

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Hợp nhất $\frac{π}{6} + π n$ và $\frac{7 π}{6} + π n$ để $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.2.8.2

Hợp nhất $\frac{5 π}{6} + π n$ và $\frac{11 π}{6} + π n$ để $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Đặt $\cot^{2} (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $\cot^{2} (x) - 1$ bằng với $0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 4.2

Giải $\cot^{2} (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cot^{2} (x) = 1$

Bước 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

Bước 4.2.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

Bước 4.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\cot (x) = 1$

Bước 4.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\cot (x) = - 1$

Bước 4.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\cot (x) = 1, - 1$

Bước 4.2.5

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

Bước 4.2.6

Giải tìm $x$ trong $\cot (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (1)$

Bước 4.2.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Giá trị chính xác của $arccot (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 4.2.6.3

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 4.2.6.4

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 4.2.6.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 4.2.6.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 4.2.6.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.4.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 4.2.6.4.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 4.2.6.5

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 4.2.6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 4.2.6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 4.2.6.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 4.2.6.6

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.7

Giải tìm $x$ trong $\cot (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (- 1)$

Bước 4.2.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.2.1

Giá trị chính xác của $arccot (- 1)$ là $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Bước 4.2.7.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.4.1

Cộng $2 π$ vào $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Bước 4.2.7.4.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 4.2.7.5

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 4.2.7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 4.2.7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 4.2.7.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 4.2.7.6

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.8

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$