Lượng giác Ví dụ

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $6 \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1.2

Trừ $9 \sin (x) \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 2

Thay thế $3 \sin^{2} (x)$ bằng $3 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 3.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 4

Sắp xếp lại đa thức.

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

Bước 5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Di chuyển $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.1.1.2

Sắp xếp lại $- 3 \cos^{2} (x)$ và $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.1.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.1.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.1.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 6

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 6.2

Giả sử $u = \cos (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 6.4

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 6.4.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

Bước 6.5

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 3 \sin (x) - 2$ .

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Bước 6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 \sin (x) - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 \sin (x)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Bước 6.6.2

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Bước 6.6.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Bước 6.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Bước 7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 8

Đặt $3 \sin (x) + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $3 \sin (x) + 2$ bằng với $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

Bước 8.2

Giải $3 \sin (x) + 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 \sin (x) = - 2$

Bước 8.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 \sin (x) = - 2$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 \sin (x) = - 2$ cho $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Bước 8.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Bước 8.2.2.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

Bước 8.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

Bước 8.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

Bước 8.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Tính $\arcsin (- \frac{2}{3})$ .

$x = - 0.72972765$

Bước 8.2.5

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

Bước 8.2.6

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

Bước 8.2.6.2

Góc tìm được $3.8713203$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 3.8713203$

Bước 8.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 8.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 8.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 8.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 8.2.8

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.8.1

Cộng $2 π$ vào $- 0.72972765$ để tìm góc dương.

$- 0.72972765 + 2 π$

Bước 8.2.8.2

Trừ $0.72972765$ khỏi $2 π$ .

$5.55345765$

Bước 8.2.8.3

Liệt kê các góc mới.

$x = 5.55345765$

Bước 8.2.9

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Đặt $3 \cos (x) - \sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $3 \cos (x) - \sin (x)$ bằng với $0$ .

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 9.2

Giải $3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9.2.2.2

Chia $3$ cho $1$ .

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9.2.3

Tách các phân số.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9.2.4

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9.2.5

Chia $- 1$ cho $1$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9.2.6

Tách các phân số.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 9.2.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 9.2.8

Chia $0$ cho $1$ .

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 9.2.9

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = 0$

Bước 9.2.10

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = - 3$

Bước 9.2.11

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 3$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.11.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 3$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 9.2.11.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.11.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 9.2.11.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 9.2.11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.11.3.1

Chia $- 3$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = 3$

Bước 9.2.12

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (3)$

Bước 9.2.13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.13.1

Tính $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Bước 9.2.14

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Bước 9.2.15

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.15.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Bước 9.2.15.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Bước 9.2.15.3

Cộng $3.14159265$ và $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Bước 9.2.16

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.16.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 9.2.16.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 9.2.16.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 9.2.16.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 9.2.17

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ đúng.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11

Hợp nhất $1.24904577 + π n$ và $4.39063842 + π n$ để $1.24904577 + π n$ .

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$