Lượng giác Ví dụ

$\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} = \csc (x) + \sec (x)$

Bước 1

Nhân cả hai vế với $\cos (x) - \sin (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} (\cos (x) - \sin (x)) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn $\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} (\cos (x) - \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x) - \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} (\cos (x) - \sin (x)) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cot (2 x) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.1.1.2

Viết lại $\cot (2 x)$ theo sin và cosin.

$2 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.1.1.3

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.1.1.4

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.1.1.5

Quy đổi từ $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ sang $\cot (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (2 x) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.1.1.6

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \cot (2 x) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn $(\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$2 \cot (2 x) = (\frac{1}{\sin (x)} + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.2.1.1.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$2 \cot (2 x) = (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.2.1.2

Khai triển $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\cos (x) - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cot (2 x) = \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) - \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cot (2 x) = \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Bước 2.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cot (2 x) = \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{\sin (x)}$ và $\cos (x)$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{\sin (x)}$ vào tử số.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.3.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.3.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.3.1.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + 1 - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Bước 2.2.1.3.1.6

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 2.2.1.3.2

Cộng $- 1$ và $1$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 2.2.1.3.3

Cộng $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ và $0$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 2.2.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.4.1

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$2 \cot (2 x) = \cot (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 2.2.1.4.2

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$2 \cot (2 x) = \cot (x) - \tan (x)$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn $2 \cot (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Viết lại $\cot (2 x)$ theo sin và cosin.

$2 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \cot (x) - \tan (x)$

Bước 3.1.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \cot (x) - \tan (x)$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (x)$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (2 x) \frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Bước 3.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cos (2 x) = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Bước 3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos (2 x) = \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Bước 3.6

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Bước 3.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.2.2

Chia $2 \cos^{2} (x)$ cho $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.3

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ và $\sin (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.4.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.4.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.4.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.4.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.8.5.2

Chia $2 \sin^{2} (x)$ cho $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - (2 \sin^{2} (x))$

Bước 3.8.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)$

Bước 3.9

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Trừ $2 \cos^{2} (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = - 2 \sin^{2} (x)$

Bước 3.9.2

Cộng $2 \sin^{2} (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 3.10

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 3.11

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Rút gọn $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 3.11.1.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x)) = 0$

Bước 3.11.1.1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x)) = 0$

Bước 3.11.1.1.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 3.11.1.1.2

Di chuyển $- \cos^{2} (x)$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 3.11.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$2 (\sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 3.11.1.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.3.1

Trừ $2 \sin^{2} (x)$ khỏi $\sin^{2} (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 3.11.1.3.2

Cộng $- \sin^{2} (x)$ và $\sin^{2} (x)$ .

$2 \cdot 0 = 0$

Bước 3.11.1.3.3

Nhân $2$ với $0$ .

$0 = 0$

Bước 3.12

Vì $0 = 0$ , phương trình luôn đúng cho bất kỳ giá trị nào của $x$ .

Tất cả các số thực

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Tất cả các số thực

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$