Lượng giác Ví dụ

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Bước 1

Vì căn thức nằm ở vế phải của phương trình, chuyển đổi các vế để nó ở vế trái của phương trình.

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

Bước 2

Nhân chéo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân chéo bằng cách đặt tích của tử số ở vế phải và mẫu số ở vế trái bằng với tích của tử số ở vế trái và mẫu số ở vế phải.

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn $\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Bước 2.2.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

Bước 2.2.1.4

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ và $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

Bước 2.2.1.5

Tách các phân số.

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

Bước 2.2.1.6

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

Bước 2.2.1.7

Chia $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ cho $1$ .

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

Bước 3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ ở dạng ${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn ${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Khai triển $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2.1.2

Nhân $- \sin (x)$ với $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2.1.3

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2.1.5

Nhân $- \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1.5.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2.1.5.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2.1.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2.1.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2.2

Cộng $- \sin (x)$ và $\sin (x)$ .

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.4

Nhân các số mũ trong ${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.5

Rút gọn.

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.6

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.6.1

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\tan (x)$ .

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.6.2

Viết lại $\cos (x) \tan (x)$ theo sin và cosin.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Bước 4.2.1.6.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì các số mũ bằng nhau, nên cơ số của các số mũ ở cả hai vế của phương trình cũng phải bằng nhau.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Bước 5.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Viết lại phương trình chứa giá trị tuyệt đối ở dạng bốn phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Bước 5.2.2

Sau khi rút gọn, chỉ có hai phương trình duy nhất cần giải.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Bước 5.2.3

Giải $\sin (x) = \sin (x)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Để hai hàm số bằng nhau, các đối số của mỗi hàm phải bằng nhau.

$x = x$

Bước 5.2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x - x = 0$

Bước 5.2.3.2.2

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$0 = 0$

Bước 5.2.3.3

Vì $0 = 0$ , phương trình luôn đúng.

Tất cả các số thực

Bước 5.2.4

Giải $\sin (x) = - \sin (x)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $\sin (x)$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Cộng $\sin (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Bước 5.2.4.1.2

Cộng $\sin (x)$ và $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Bước 5.2.4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 5.2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 5.2.4.2.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Bước 5.2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 5.2.4.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 5.2.4.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5.2.4.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 5.2.4.6

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 5.2.4.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.4.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.4.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.4.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.4.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$