Lượng giác Ví dụ

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

Bước 1

Trừ $\sin (2 x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

Bước 2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Bước 3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 \cos (x)}$ ở dạng ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn ${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

Bước 3.3.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

Bước 3.3.1.3

Nhân $\sin^{2} (2 x)$ với $1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $\sin^{2} (2 x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Bước 4.2

Thay thế $\sin^{2} (2 x)$ bằng $1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

Bước 4.3

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

Bước 4.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 4.3.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 4.3.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 4.3.2.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Bước 4.4

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Bước 4.4.2

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Bước 4.4.3

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Bước 4.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Bước 4.6

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 4.6.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 4.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 4.6.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 4.6.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.6.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.6.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 4.6.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 4.6.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 4.6.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.6.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.6.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.6.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.6.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.7

Đặt $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đặt $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ bằng với $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Bước 4.7.2

Giải $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Thay thế $\sin^{2} (x)$ bằng $1 - \cos^{2} (x)$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Bước 4.7.2.2

Nhân $1 - \cos^{2} (x)$ với $1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Bước 4.7.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Bước 4.7.2.4

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Bước 4.7.2.5

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.5.1

Di chuyển $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 4.7.2.5.2

Nhân $\cos (x)$ với $\cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.5.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 4.7.2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

Bước 4.7.2.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

Bước 4.7.2.6

Sắp xếp lại đa thức.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

Bước 4.7.2.7

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

Bước 4.7.2.8

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.8.1

Đưa $- u$ ra ngoài $- u^{3} + u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.8.1.1

Đưa $- u$ ra ngoài $- u^{3}$ .

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

Bước 4.7.2.8.1.2

Viết lại $u$ ở dạng $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

Bước 4.7.2.8.1.3

Đưa $- u$ ra ngoài $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

Bước 4.7.2.8.1.4

Đưa $- u$ ra ngoài $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ .

$- u (u^{2} - 1) = 0$

Bước 4.7.2.8.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Bước 4.7.2.8.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.8.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = u$ và $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Bước 4.7.2.8.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

Bước 4.7.2.9

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Bước 4.7.2.10

Đặt $u$ bằng với $0$ .

$u = 0$

Bước 4.7.2.11

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.11.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 4.7.2.11.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 4.7.2.12

Đặt $u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.12.1

Đặt $u - 1$ bằng với $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 4.7.2.12.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 4.7.2.13

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ đúng.

$u = 0, - 1, 1$

Bước 4.7.2.14

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

Bước 4.7.2.15

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

Bước 4.7.2.16

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.16.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 4.7.2.16.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.16.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 4.7.2.16.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 4.7.2.16.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.16.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.7.2.16.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.16.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.7.2.16.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 4.7.2.16.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.16.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 4.7.2.16.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 4.7.2.16.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.16.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.7.2.16.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.7.2.16.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.7.2.16.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.7.2.16.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.7.2.17

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.17.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- 1)$

Bước 4.7.2.17.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.17.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$x = π$

Bước 4.7.2.17.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - π$

Bước 4.7.2.17.4

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = π$

Bước 4.7.2.17.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.17.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.7.2.17.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.7.2.17.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.7.2.17.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.7.2.17.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.7.2.18

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.18.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 4.7.2.18.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.18.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4.7.2.18.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 4.7.2.18.4

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 4.7.2.18.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.18.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.7.2.18.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.7.2.18.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.7.2.18.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.7.2.18.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.7.2.19

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.7.2.20

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Hợp nhất các câu trả lời.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hợp nhất $\frac{π}{2} + 2 π n$ và $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ để $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.2

Hợp nhất $\frac{π}{2} + π n$ và $\frac{π n}{2}$ để $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Chứng minh từng đáp án bằng cách thay chúng vào $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ và giải.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ , cho mọi số nguyên $n$