Lượng giác Ví dụ

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

Bước 1

Trừ $\cos (3 x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

Bước 2.2

Sử dụng đẳng thức góc nhân ba để chuyển đổi $\cos (3 x)$ thành $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Bước 2.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Bước 2.5

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Bước 3

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Bước 3.2

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $- 4 \cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Bước 3.3

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $3 \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Bước 3.4

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Bước 3.5

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Bước 5

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 5.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 5.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 5.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 5.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 5.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ bằng với $0$ .

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Bước 6.2

Giải $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Thay thế $- 4 \cos^{2} (x)$ bằng $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Bước 6.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Bước 6.2.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Bước 6.2.2.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Bước 6.2.3

Cộng $- 4$ và $3$ .

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 6.2.4

Sắp xếp lại đa thức.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Bước 6.2.5

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Bước 6.2.6

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.2.7

Thay các giá trị $a = 4$ , $b = 2$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.8.1.2.2

Nhân $- 16$ với $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.8.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.8.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.8.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.8.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.8.2

Nhân $2$ với $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Bước 6.2.8.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Bước 6.2.9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Bước 6.2.10

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Bước 6.2.11

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Bước 6.2.12

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.12.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Bước 6.2.12.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.12.2.1

Tính $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

Bước 6.2.12.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Bước 6.2.12.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.12.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

Bước 6.2.12.4.2

Góc tìm được $\frac{9 π}{10}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = \frac{9 π}{10}$

Bước 6.2.12.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.12.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.12.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.12.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.12.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.12.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6.2.13

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Bước 6.2.13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.2.1

Tính $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

Bước 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Bước 6.2.13.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

Bước 6.2.13.4.2

Góc tìm được $\frac{13 π}{10}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = \frac{13 π}{10}$

Bước 6.2.13.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.13.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{3 π}{10}$ để tìm góc dương.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Bước 6.2.13.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Bước 6.2.13.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Bước 6.2.13.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Bước 6.2.13.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.6.4.1

Nhân $10$ với $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Bước 6.2.13.6.4.2

Trừ $3 π$ khỏi $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Bước 6.2.13.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{17 π}{10}$

Bước 6.2.13.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6.2.14

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Hợp nhất $\frac{π}{2} + 2 π n$ và $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ để $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$