Lượng giác Ví dụ

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

Bước 1

Sử dụng đẳng thức lượng giác để giải phương trình. Trong đẳng thức này, $θ$ đại diện cho góc được tạo ra bằng cách vẽ điểm $(a, b)$ trên đồ thị và do đó có thể tìm được bằng $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ trong đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ và $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Bước 2

Lập phương trình để tìm giá trị của $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

Bước 3

Tính $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ .

$θ = 0.87605805$

Bước 4

Giải để tìm giá trị của $R$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

Bước 4.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$R = \sqrt{25 + 36}$

Bước 4.3

Cộng $25$ và $36$ .

$R = \sqrt{61}$

Bước 5

Thay các giá trị đã biết vào phương trình.

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ cho $\sqrt{61}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ cho $\sqrt{61}$ .

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{61}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $\sin (3 x + 0.87605805)$ cho $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{61}}$ với $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Bước 6.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{61}}$ với $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Bước 6.3.2.2

Nâng $\sqrt{61}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Bước 6.3.2.3

Nâng $\sqrt{61}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Bước 6.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Bước 6.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Bước 6.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{61}}^{2}$ ở dạng $61$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{61}$ ở dạng $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

Bước 6.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

Bước 7

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

Bước 8

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ .

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

Bước 9

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Trừ $0.87605805$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

Bước 9.2

Trừ $0.87605805$ khỏi $0.12838931$ .

$3 x = - 0.74766873$

Bước 10

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 0.74766873$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 0.74766873$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Bước 10.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Bước 10.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

Bước 10.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Chia $- 0.74766873$ cho $3$ .

$x = - 0.24922291$

Bước 11

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

Bước 12

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Trừ $0.12838931$ khỏi $3.14159265$ .

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

Bước 12.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Trừ $0.87605805$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

Bước 12.2.2

Trừ $0.87605805$ khỏi $3.01320333$ .

$3 x = 2.13714528$

Bước 12.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 2.13714528$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 2.13714528$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Bước 12.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Bước 12.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2.13714528}{3}$

Bước 12.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.1

Chia $2.13714528$ cho $3$ .

$x = 0.71238176$

Bước 13

Tìm chu kỳ của $\sin (3 x + 0.87605805)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 13.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Bước 13.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Bước 14

Cộng $\frac{2 π}{3}$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $\frac{2 π}{3}$ vào $- 0.24922291$ để tìm góc dương.

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

Bước 14.2

Trừ $0.24922291$ khỏi $\frac{2 π}{3}$ .

$1.84517219$

Bước 14.3

Liệt kê các góc mới.

$x = 1.84517219$

Bước 15

Chu kỳ của hàm $\sin (3 x + 0.87605805)$ là $\frac{2 π}{3}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{2 π}{3}$ radian theo cả hai hướng.

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$