Lượng giác Ví dụ

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

Bước 1

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

Bước 2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

Bước 3

Đưa $2$ ra ngoài $8 u^{2} - 4 u - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

Bước 3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

Bước 3.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Bước 3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Bước 3.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 4.2.1.2

Chia $4 u^{2} - 2 u - 1$ cho $1$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Bước 5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6

Thay các giá trị $a = 4$ , $b = - 2$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 7.1.2.2

Nhân $- 16$ với $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Bước 7.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Bước 7.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Bước 7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Bước 7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Bước 7.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Bước 8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Bước 9

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Bước 10

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Bước 11

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Bước 11.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Tính $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Bước 11.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{3 π}{10}$

Bước 11.4

Rút gọn $π - \frac{3 π}{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Bước 11.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Bước 11.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Bước 11.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.3.1

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

Bước 11.4.3.2

Trừ $3 π$ khỏi $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{10}$

Bước 11.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 11.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 11.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 11.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 11.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Bước 12.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Tính $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{π}{10}$

Bước 12.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π + \frac{π}{10}$

Bước 12.4

Rút gọn $π + \frac{π}{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

Bước 12.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

Bước 12.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

Bước 12.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.3.1

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

Bước 12.4.3.2

Cộng $10 π$ và $π$ .

$x = \frac{11 π}{10}$

Bước 12.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 12.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{10}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{10} + 2 π$

Bước 12.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

Bước 12.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

Bước 12.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

Bước 12.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.4.1

Nhân $10$ với $2$ .

$\frac{20 π - π}{10}$

Bước 12.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $20 π$ .

$\frac{19 π}{10}$

Bước 12.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{19 π}{10}$

Bước 12.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$