Lượng giác Ví dụ

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giả sử $u = \sin (\frac{x}{2})$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\sin (\frac{x}{2})$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ và có tổng là $b = - 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $- 10$ ra ngoài $- 10 u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Bước 1.2.1.2

Viết lại $- 10$ ở dạng $- 4$ cộng $- 6$

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

Bước 1.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

Bước 1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

Bước 1.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Bước 1.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (\frac{x}{2})$ .

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Bước 3

Đặt $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ bằng với $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

Bước 3.2

Giải $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Bước 3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 3.2.2.2.1.2

Chia $\sin (\frac{x}{2})$ cho $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Bước 3.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 3.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Bước 3.2.5

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Bước 3.2.6

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Bước 3.2.6.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Bước 3.2.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Bước 3.2.6.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Bước 3.2.6.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{π}{3}$

Bước 3.2.7

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Bước 3.2.8

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Bước 3.2.8.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Bước 3.2.8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Bước 3.2.8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.2.1

Rút gọn $2 (π - \frac{π}{6})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.2.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Bước 3.2.8.2.2.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.2.1.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Bước 3.2.8.2.2.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 3.2.8.2.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.2.1.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Bước 3.2.8.2.2.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Bước 3.2.8.2.2.1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Bước 3.2.8.2.2.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.2.1.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Bước 3.2.8.2.2.1.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 3.2.9

Tìm chu kỳ của $\sin (\frac{x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.2.9.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Bước 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Bước 3.2.9.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 2$

Bước 3.2.9.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 π$

Bước 3.2.10

Chu kỳ của hàm $\sin (\frac{x}{2})$ là $4 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Đặt $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ bằng với $0$ .

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Bước 4.2

Giải $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

Bước 4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ cho $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Bước 4.2.2.2.1.2

Chia $\sin (\frac{x}{2})$ cho $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

Bước 4.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

Bước 4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Tính $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

Bước 4.2.5

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Bước 4.2.6

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Bước 4.2.6.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

Bước 4.2.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Nhân $2$ với $0.84806207$ .

$x = 1.69612415$

Bước 4.2.7

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

Bước 4.2.8

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Bước 4.2.8.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Bước 4.2.8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Bước 4.2.8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.2.2.1

Rút gọn $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.2.2.1.1

Trừ $0.84806207$ khỏi $3.14159265$ .

$x = 2 \cdot 2.29353057$

Bước 4.2.8.2.2.1.2

Nhân $2$ với $2.29353057$ .

$x = 4.58706114$

Bước 4.2.9

Tìm chu kỳ của $\sin (\frac{x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.9.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.9.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Bước 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.9.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 2$

Bước 4.2.9.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 π$

Bước 4.2.10

Chu kỳ của hàm $\sin (\frac{x}{2})$ là $4 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$