Lượng giác Ví dụ

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sqrt{2} \cos (x) + 2 = 0$

Bước 1

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Bước 2

Đưa $2$ ra ngoài $4 u^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Bước 2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 \sqrt{2} u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 = 0$

Bước 2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Bước 2.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Bước 2.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.2.1.2

Chia $2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1$ cho $1$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = \frac{0}{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = 0$

Bước 4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = - 2 \sqrt{2}$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.3.5

Tính số mũ.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.4

Nhân $4$ với $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.5

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.5.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.5.2

Nhân $- 8$ với $1$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.6

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.7

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm 0}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.9

$2 \sqrt{2}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 7

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 8

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 9

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 10

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Bước 11

Rút gọn $2 π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 11.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 11.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Bước 11.3.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 12

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$