Lượng giác Ví dụ

$\frac{\sin (30)}{x} = \frac{\sin (60)}{y}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$ .

$\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Bước 2

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của $\sin (60)$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Bước 2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Bước 2.3

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Bước 2.4

Giá trị chính xác của $\sin (30)$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\frac{1}{2}}{x}$

Bước 2.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.6

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$

Bước 3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$2 y, 2 x$

Bước 3.2

Vì $2 y, 2 x$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $2, 2$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $y^{1}, x^{1}$ .

Bước 3.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 3.4

Vì $2$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $2$ .

$2$ là một số nguyên tố

Bước 3.5

BCNN của $2, 2$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2$

Bước 3.6

Thừa số cho $y^{1}$ là chính nó $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ xảy ra $1$ lần.

Bước 3.7

Thừa số cho $x^{1}$ là chính nó $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ xảy ra $1$ lần.

Bước 3.8

BCNN của $y^{1}, x^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$y \cdot x$

Bước 3.9

Nhân $y$ với $x$ .

$y x$

Bước 3.10

BCNN cho $2 y, 2 x$ là phần số $2$ nhân với phần biến.

$2 y x$

Bước 4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ với $2 y x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ với $2 y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} (2 y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 (y)} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Bước 4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y (x)) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Bước 4.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Bước 4.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 (x)} (y x)$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Bước 4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $y x$ .

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Bước 4.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{3} x = y$

Bước 5

Viết lại phương trình ở dạng $y = \sqrt{3} x$ .

$y = \sqrt{3} x$

Bước 6

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt{3} y$

Bước 7

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{3} y = x$ .

$\sqrt{3} y = x$

Bước 7.2

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{3} y = x$ cho $\sqrt{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{3} y = x$ cho $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Bước 7.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 7.2.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 7.2.3.2.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 7.2.3.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 7.2.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 7.2.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 7.2.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.2.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.2.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.2.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.2.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 7.2.3.2.6.5

Tính số mũ.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Bước 8

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{3} x$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 9.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 9.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt{3} x)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{(\sqrt{3} x) \sqrt{3}}{3}$

Bước 9.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Bước 9.2.3.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Bước 9.2.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Bước 9.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Bước 9.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Bước 9.2.4.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Bước 9.2.4.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Bước 9.2.4.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Bước 9.2.4.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Bước 9.2.4.1.5

Tính số mũ.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Bước 9.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Bước 9.2.4.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = x$

Bước 9.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 9.3.2

Tính $f (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$

Bước 9.3.3

Nhân $\sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\frac{x \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3} (x \sqrt{3})}{3}$

Bước 9.3.3.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Bước 9.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Bước 9.3.4

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Bước 9.3.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Bước 9.3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Bước 9.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Bước 9.3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Bước 9.3.4.5

Tính số mũ.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Bước 9.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Bước 9.3.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = x$

Bước 9.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{3} x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$