Lượng giác Ví dụ

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{\cos (2 y)}{\sin (y)}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$

Bước 2.2

Nhân cả hai vế với $\sin (y)$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Bước 2.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Bước 2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (2 y) = x \sin (y)$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y)$

Bước 2.4.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y) - 1$

Bước 2.4.3

Trừ $x \sin (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin^{2} (y) - x \sin (y) = - 1$

Bước 2.4.4

Giải phương trình để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Thay $u$ bằng $\sin (y)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - x u = - 1$

Bước 2.4.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 u^{2} - x u + 1 = 0$

Bước 2.4.4.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.4.4.4

Thay các giá trị $a = - 2$ , $b = - x$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.5.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.5.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.5.1.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.5.1.4

Nhân $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.5.1.4.1

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.5.1.4.2

Nhân $8$ với $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Bước 2.4.4.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Bước 2.4.4.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.6.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.6.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.6.1.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.6.1.4

Nhân $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.6.1.4.1

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.6.1.4.2

Nhân $8$ với $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.6.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Bước 2.4.4.6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Bước 2.4.4.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Bước 2.4.4.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.7.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.7.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.7.1.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.7.1.4

Nhân $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.7.1.4.1

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.7.1.4.2

Nhân $8$ với $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Bước 2.4.4.7.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Bước 2.4.4.7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Bước 2.4.4.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Bước 2.4.4.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Bước 2.4.4.9

Thay $\sin (y)$ bằng $u$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}, - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Bước 2.4.4.10

Lập từng đáp án để giải tìm $y$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Bước 2.4.4.11

Giải tìm $y$ trong $\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.11.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$y = \arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 2.4.4.11.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.11.2.1

Rút gọn $\arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.11.2.1.1

Tách phân số $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ thành hai phân số.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Bước 2.4.4.11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 2.4.4.11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.11.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 2.4.4.12

Giải tìm $y$ trong $\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.12.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$y = \arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 2.4.4.12.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.12.2.1

Rút gọn $\arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.12.2.1.1

Tách phân số $\frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ thành hai phân số.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Bước 2.4.4.12.2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Bước 2.4.4.12.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 2.4.4.12.2.1.4

Nhân $- - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.12.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 2.4.4.12.2.1.4.2

Nhân $\frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ với $1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 2.4.4.12.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.12.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 2.4.4.13

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ và $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ rồi so sánh.

Bước 4.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Bước 4.3

Find the domain of the inverse.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tìm tập xác định của $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{2} + 8}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Bước 4.3.1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} \geq - 8$

Bước 4.3.1.2.2

Vì vế trái có số mũ chẵn, nó luôn dương cho tất cả các số thực.

Tất cả các số thực

Bước 4.3.1.3

Đặt đối số trong $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ lớn hơn hoặc bằng $- 1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Bước 4.3.1.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.1

Nhân cả hai vế với $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Bước 4.3.1.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Bước 4.3.1.4.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Bước 4.3.1.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.2.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Bước 4.3.1.4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Bước 4.3.1.4.3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 8}$ ở dạng ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1

Rút gọn ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1.3

Nhân ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ với $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1.4

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3.2.1.5

Rút gọn.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1

Rút gọn ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.1

Viết lại ${(- 4 + x)}^{2}$ ở dạng $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.2

Khai triển $(- 4 + x) (- 4 + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.1

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.2

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.3

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.3.3.1.3.2

Trừ $4 x$ khỏi $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Bước 4.3.1.4.3.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.4.1

Viết lại để $x$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Bước 4.3.1.4.3.4.2

Chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.4.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Bước 4.3.1.4.3.4.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.4.2.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Bước 4.3.1.4.3.4.2.2.2

Cộng $16 - 8 x$ và $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Bước 4.3.1.4.3.4.3

Chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.4.3.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Bước 4.3.1.4.3.4.3.2

Trừ $16$ khỏi $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Bước 4.3.1.4.3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $- 8 x \leq - 8$ cho $- 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- 8 x \leq - 8$ cho $- 8$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Bước 4.3.1.4.3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Bước 4.3.1.4.3.4.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Bước 4.3.1.4.3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.3.4.4.3.1

Chia $- 8$ cho $- 8$ .

$x \geq 1$

Bước 4.3.1.4.4

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq 1$

Bước 4.3.1.5

Đặt đối số trong $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ nhỏ hơn hoặc bằng $1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Bước 4.3.1.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.1

Nhân cả hai vế với $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Bước 4.3.1.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Bước 4.3.1.6.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Bước 4.3.1.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.2.2.1

Nhân $4$ với $1$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Bước 4.3.1.6.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Bước 4.3.1.6.3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 8}$ ở dạng ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1

Rút gọn ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1.3

Nhân ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ với $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1.4

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3.2.1.5

Rút gọn.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1

Rút gọn ${(4 + x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.1

Viết lại ${(4 + x)}^{2}$ ở dạng $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.2

Khai triển $(4 + x) (4 + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.1

Nhân $4$ với $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.3

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.3.3.1.3.2

Cộng $4 x$ và $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Bước 4.3.1.6.3.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.4.1

Viết lại để $x$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Bước 4.3.1.6.3.4.2

Chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.4.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Bước 4.3.1.6.3.4.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.4.2.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Bước 4.3.1.6.3.4.2.2.2

Cộng $16 + 8 x$ và $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Bước 4.3.1.6.3.4.3

Chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.4.3.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$8 x \geq 8 - 16$

Bước 4.3.1.6.3.4.3.2

Trừ $16$ khỏi $8$ .

$8 x \geq - 8$

Bước 4.3.1.6.3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $8 x \geq - 8$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $8 x \geq - 8$ cho $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Bước 4.3.1.6.3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Bước 4.3.1.6.3.4.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Bước 4.3.1.6.3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.3.4.4.3.1

Chia $- 8$ cho $8$ .

$x \geq - 1$

Bước 4.3.1.6.4

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1$

$x > - 1$

Bước 4.3.1.6.5

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.5.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.5.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 4.3.1.6.5.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{- (- 4) - \sqrt{{(- 4)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Bước 4.3.1.6.5.1.3

Vế trái $- 0.22474487$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 4.3.1.6.5.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.5.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 4.3.1.6.5.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{- (0) - \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Bước 4.3.1.6.5.2.3

Vế trái $- 0.70710678$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 4.3.1.6.5.3

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1$ Đúng

$x > - 1$ Đúng

$x < - 1$ Đúng

$x > - 1$ Đúng

Bước 4.3.1.6.6

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 1$ hoặc $x \geq - 1$

Bước 4.3.1.6.7

Kết hợp các khoảng.

Tất cả các số thực

Bước 4.3.1.7

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 1]$

Bước 4.3.2

Tìm tập xác định của $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{2} + 8}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Bước 4.3.2.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} \geq - 8$

Bước 4.3.2.2.2

Vì vế trái có số mũ chẵn, nó luôn dương cho tất cả các số thực.

Tất cả các số thực

Bước 4.3.2.3

Đặt đối số trong $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ lớn hơn hoặc bằng $- 1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Bước 4.3.2.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.1

Nhân cả hai vế với $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Bước 4.3.2.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Bước 4.3.2.4.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Bước 4.3.2.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.2.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Bước 4.3.2.4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$\sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Bước 4.3.2.4.3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.4.3.3

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 8}$ ở dạng ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.4.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.2.1

Rút gọn ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.4.3.3.2.1.2

Rút gọn.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.4.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1

Rút gọn ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.1

Viết lại ${(- 4 + x)}^{2}$ ở dạng $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.2

Khai triển $(- 4 + x) (- 4 + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.1

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.2

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.3

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Bước 4.3.2.4.3.3.3.1.3.2

Trừ $4 x$ khỏi $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Bước 4.3.2.4.3.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.4.1

Viết lại để $x$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Bước 4.3.2.4.3.4.2

Chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.4.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Bước 4.3.2.4.3.4.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.4.2.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Bước 4.3.2.4.3.4.2.2.2

Cộng $16 - 8 x$ và $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Bước 4.3.2.4.3.4.3

Chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.4.3.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Bước 4.3.2.4.3.4.3.2

Trừ $16$ khỏi $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Bước 4.3.2.4.3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $- 8 x \leq - 8$ cho $- 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- 8 x \leq - 8$ cho $- 8$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Bước 4.3.2.4.3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Bước 4.3.2.4.3.4.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Bước 4.3.2.4.3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.3.4.4.3.1

Chia $- 8$ cho $- 8$ .

$x \geq 1$

Bước 4.3.2.4.4

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 1$

$x > 1$

Bước 4.3.2.4.5

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.5.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.5.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 4.3.2.4.5.1.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{- (0) + \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Bước 4.3.2.4.5.1.3

Vế trái $0.70710678$ lớn hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 4.3.2.4.5.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.5.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 4.3.2.4.5.2.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{- (4) + \sqrt{{(4)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Bước 4.3.2.4.5.2.3

Vế trái $0.22474487$ lớn hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 4.3.2.4.5.3

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 1$ Đúng

$x > 1$ Đúng

$x < 1$ Đúng

$x > 1$ Đúng

Bước 4.3.2.4.6

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq 1$ hoặc $x \geq 1$

Bước 4.3.2.4.7

Kết hợp các khoảng.

Tất cả các số thực

Bước 4.3.2.5

Đặt đối số trong $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ nhỏ hơn hoặc bằng $1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Bước 4.3.2.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.1

Nhân cả hai vế với $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Bước 4.3.2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Bước 4.3.2.6.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Bước 4.3.2.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.2.2.1

Nhân $4$ với $1$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Bước 4.3.2.6.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$\sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Bước 4.3.2.6.3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.6.3.3

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 8}$ ở dạng ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.6.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.2.1

Rút gọn ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.6.3.3.2.1.2

Rút gọn.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Bước 4.3.2.6.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1

Rút gọn ${(4 + x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.1

Viết lại ${(4 + x)}^{2}$ ở dạng $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.2

Khai triển $(4 + x) (4 + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.1

Nhân $4$ với $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.3

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Bước 4.3.2.6.3.3.3.1.3.2

Cộng $4 x$ và $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Bước 4.3.2.6.3.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.4.1

Viết lại để $x$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Bước 4.3.2.6.3.4.2

Chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.4.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Bước 4.3.2.6.3.4.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.4.2.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Bước 4.3.2.6.3.4.2.2.2

Cộng $16 + 8 x$ và $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Bước 4.3.2.6.3.4.3

Chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.4.3.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$8 x \geq 8 - 16$

Bước 4.3.2.6.3.4.3.2

Trừ $16$ khỏi $8$ .

$8 x \geq - 8$

Bước 4.3.2.6.3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $8 x \geq - 8$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $8 x \geq - 8$ cho $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Bước 4.3.2.6.3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Bước 4.3.2.6.3.4.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Bước 4.3.2.6.3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.3.4.4.3.1

Chia $- 8$ cho $8$ .

$x \geq - 1$

Bước 4.3.2.7

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- 1, \infty)$

Bước 4.3.3

Tìm phần hợp của $(- \infty, 1], [- 1, \infty)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Phần hợp bao gồm tất cả các phần tử được chứa trong mỗi khoảng.

$(- \infty, \infty)$

Bước 4.4

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ , nên $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ không phải là hàm ngược của $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Không có hàm ngược

Bước 5