Lượng giác Ví dụ

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$ .

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Bước 2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Bước 2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Bước 2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Bước 2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Bước 2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Bước 2.1.1.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (y)}$ sang $\sec (y)$ .

$\sec (y) + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Bước 2.1.1.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (y)}$ sang $\sec (y)$ .

$\sec (y) + \sec (y) = x$

Bước 2.1.2

Cộng $\sec (y)$ và $\sec (y)$ .

$2 \sec (y) = x$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $2 \sec (y) = x$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sec (y) = x$ cho $2$ .

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2.1.2

Chia $\sec (y)$ cho $1$ .

$\sec (y) = \frac{x}{2}$

Bước 4

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ bên trong secant.

$y = arcsec (\frac{x}{2})$

Bước 5

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = arcsec (\frac{y}{2})$

Bước 6

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $arcsec (\frac{y}{2}) = x$ .

$arcsec (\frac{y}{2}) = x$

Bước 6.2

Lấy nghịch đảo arcsecant của cả hai vế của phương trình để rút $y$ từ bên trong arcsecant.

$\frac{y}{2} = \sec (x)$

Bước 6.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

Bước 6.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

Bước 6.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2 \sec (x)$

Bước 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$

Bước 8

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ có là hàm ngược của $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 8.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 8.2.2

Tính $f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2}))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 \sec (arcsec (\frac{x}{2}))$

Bước 8.2.3

Các hàm secant và arcsecant là nghịch đảo.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 8.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 8.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = x$

Bước 8.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 8.3.2

Tính $f (2 \sec (x))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

Bước 8.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

Bước 8.3.3.2

Chia $\sec (x)$ cho $1$ .

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\sec (x))$

Bước 8.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ là hàm ngược của $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$