Lượng giác Ví dụ

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

Bước 2.2

Nhân cả hai vế với $1 + \cot (y)$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Rút gọn $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + \cot (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Bước 2.3.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

Bước 2.3.1.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.2.1

Vì $\cot (- y)$ là một hàm lẻ, nên viết lại $\cot (- y)$ ở dạng $- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Bước 2.3.1.1.2.2

Nhân $- - \cot (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.2.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Bước 2.3.1.1.2.2.2

Nhân $\cot (y)$ với $1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn $x (1 + \cot (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

Bước 2.3.2.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay $u$ bằng $\cot (y)$ .

$1 + u = x + x (u)$

Bước 2.4.2

Trừ $x u$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$1 + u - x u = x$

Bước 2.4.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u - x u = x - 1$

Bước 2.4.4

Đưa $u$ ra ngoài $u - x u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Bước 2.4.4.2

Đưa $u$ ra ngoài $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Bước 2.4.4.3

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Bước 2.4.5

Chia mỗi số hạng trong $u (1 - x) = x - 1$ cho $1 - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Chia mỗi số hạng trong $u (1 - x) = x - 1$ cho $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Bước 2.4.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Bước 2.4.5.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Bước 2.4.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Bước 2.4.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x - 1$ và $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.3.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Bước 2.4.5.3.2.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Bước 2.4.5.3.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Bước 2.4.5.3.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Bước 2.4.5.3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Bước 2.4.5.3.2.6

Chia $- 1$ cho $1$ .

$u = - 1$

Bước 2.4.6

Thay $\cot (y)$ bằng $u$ .

$\cot (y) = - 1$

Bước 2.4.7

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm cotang.

$y = arccot (- 1)$

Bước 2.4.8

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.8.1

Giá trị chính xác của $arccot (- 1)$ là $\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

Bước 2.4.10

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.10.1

Cộng $2 π$ vào $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Bước 2.4.10.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{7 π}{4}$

Bước 2.4.11

Tìm chu kỳ của $\cot (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.11.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 2.4.11.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 2.4.11.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 2.4.11.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.4.12

Chu kỳ của hàm $\cot (y)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.5

Hợp nhất các câu trả lời.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

Bước 4.2.3

Sắp xếp lại $\frac{3 π}{4}$ và $π n$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Bước 4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$