Lượng giác Ví dụ

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Bước 1

Trừ $\frac{1}{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$

Bước 2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$y, 1, x$

Bước 2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Bước 2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.5

BCNN của $1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 2.6

Thừa số cho $y^{1}$ là chính nó $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.7

Thừa số cho $x^{1}$ là chính nó $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.8

BCNN của $y^{1}, x^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$y \cdot x$

Bước 2.9

Nhân $y$ với $x$ .

$y x$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ với $y x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ với $y x$ .

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$\frac{1}{y} (y (x)) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Bước 3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$x = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nhân $y x$ với $1$ .

$x = y x - \frac{1}{x} (y x)$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (y x)$

Bước 3.3.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $y x$ .

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Bước 3.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Bước 3.3.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$x = y x - y$

Bước 4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $y x - y = x$ .

$y x - y = x$

Bước 4.2

Đưa $y$ ra ngoài $y x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - y = x$

Bước 4.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Bước 4.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Bước 4.3

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = x$ cho $x - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = x$ cho $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Bước 4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Bước 4.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Bước 5

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Bước 6

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân phương trình với $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn $(y - 1) (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 6.2.1.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Bước 6.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y x - x = y$

Bước 6.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - x - y = 0$

Bước 6.4.2

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - y = x$

Bước 6.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - y = x$

Bước 6.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Bước 6.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Bước 6.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = x$ cho $x - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = x$ cho $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Bước 6.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Bước 6.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Bước 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Bước 8

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 8.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 8.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Bước 8.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Bước 8.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Bước 8.2.4.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 8.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 8.2.4.4

Viết lại $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Bước 8.2.4.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Bước 8.2.4.4.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Bước 8.2.4.4.4

Cộng $0$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Bước 8.2.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Bước 8.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Bước 8.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Bước 8.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Bước 8.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 8.3.2

Tính $f (\frac{x}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Bước 8.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Bước 8.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Bước 8.3.4.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 8.3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 8.3.4.4

Viết lại $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Bước 8.3.4.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Bước 8.3.4.4.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Bước 8.3.4.4.4

Cộng $0$ và $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Bước 8.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Bước 8.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Bước 8.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Bước 8.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Bước 8.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$