Lượng giác Ví dụ

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2} = x$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2

Rút gọn $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để viết $\frac{3 y^{2}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân $\frac{3 y^{2}}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{2} + 3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} + 3 y^{2} \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + 3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2.4.1.1.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $3 y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 \cdot 4)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2.4.1.1.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 \cdot 4)$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 \cdot 4)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2.4.1.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{y^{2} (1 + 12)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2.4.1.3

Cộng $1$ và $12$ .

$\frac{y^{2} \cdot 13}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.2.4.2

Di chuyển $13$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{13 y^{2}}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Bước 2.3

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{13 y^{2}}{8} + \frac{9 y}{2} - x = 0$

Bước 2.4

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $8$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (\frac{13 y^{2}}{8}) + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Bước 2.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 (\frac{13 y^{2}}{8}) + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$13 y^{2} + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$13 y^{2} + 2 (4) (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$13 y^{2} + 2 \cdot (4 (\frac{9 y}{2})) + 8 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$13 y^{2} + 4 (9 y) + 8 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.3

Nhân $9$ với $4$ .

$13 y^{2} + 36 y + 8 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.4

Nhân $- 1$ với $8$ .

$13 y^{2} + 36 y - 8 x = 0$

Bước 2.4.3

Di chuyển $36 y$ .

$13 y^{2} - 8 x + 36 y = 0$

Bước 2.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.6

Thay các giá trị $a = 13$ , $b = 36$ , và $c = - 8 x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot (13 \cdot (- 8 x))}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Nâng $36$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.1.2.2

Nhân $- 52$ với $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.1.3

Đưa $16$ ra ngoài $1296 + 416 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.3.1

Đưa $16$ ra ngoài $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.1.3.2

Đưa $16$ ra ngoài $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.1.3.3

Đưa $16$ ra ngoài $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.1.4

Viết lại $16 (81 + 26 x)$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.4.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.7.2

Nhân $2$ với $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Bước 2.7.3

Rút gọn $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $36$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.1.2.2

Nhân $- 52$ với $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.1.3

Đưa $16$ ra ngoài $1296 + 416 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.3.1

Đưa $16$ ra ngoài $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.1.3.2

Đưa $16$ ra ngoài $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.1.3.3

Đưa $16$ ra ngoài $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.1.4

Viết lại $16 (81 + 26 x)$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.4.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.8.2

Nhân $2$ với $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Bước 2.8.3

Rút gọn $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Bước 2.8.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{- 18 + 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Bước 2.8.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 18 + 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$y = \frac{2 \cdot - 9 + 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Bước 2.8.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 9 + 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

$y = \frac{2 (- 9 + \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Bước 2.8.6

Viết lại $- 9$ ở dạng $- 1 (9)$ .

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 9 + \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Bước 2.8.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{81 + 26 x}$ .

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{81 + 26 x}))}{13}$

Bước 2.8.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (9) - 1 (- \sqrt{81 + 26 x})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (9 - \sqrt{81 + 26 x}))}{13}$

Bước 2.8.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Bước 2.9

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.1

Nâng $36$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.1.2

Nhân $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.2.1

Nhân $- 4$ với $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.1.2.2

Nhân $- 52$ với $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.1.3

Đưa $16$ ra ngoài $1296 + 416 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.3.1

Đưa $16$ ra ngoài $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.1.3.2

Đưa $16$ ra ngoài $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.1.3.3

Đưa $16$ ra ngoài $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.1.4

Viết lại $16 (81 + 26 x)$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.4.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Bước 2.9.2

Nhân $2$ với $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Bước 2.9.3

Rút gọn $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Bước 2.9.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{- 18 - 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Bước 2.9.5

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 18 - 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.5.1

Sắp xếp lại $81$ và $26 x$ .

$y = \frac{- 18 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Bước 2.9.5.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 18$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Bước 2.9.5.3

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{26 x + 81}$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Bước 2.9.5.4

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (9) - 2 (\sqrt{26 x + 81})$ .

$y = \frac{- 2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Bước 2.9.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Bước 2.10

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ và $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ rồi so sánh.

Bước 4.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[- \frac{81}{26}, \infty)$

Bước 4.3

Tìm tập xác định của $- \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{81 + 26 x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$81 + 26 x \geq 0$

Bước 4.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Trừ $81$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$26 x \geq - 81$

Bước 4.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $26 x \geq - 81$ cho $26$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $26 x \geq - 81$ cho $26$ .

$\frac{26 x}{26} \geq \frac{- 81}{26}$

Bước 4.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $26$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{26 x}{26} \geq \frac{- 81}{26}$

Bước 4.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{- 81}{26}$

Bước 4.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x \geq - \frac{81}{26}$

Bước 4.3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- \frac{81}{26}, \infty)$

Bước 4.4

Tìm tập xác định của $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 4.5

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ là khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ và khoảng biến thiên của $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ là tập xác định của $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ , nên $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Bước 5