Lượng giác Ví dụ

$10 \cos (2 x) + 10$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 10 \cos (2 y) + 10$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $10 \cos (2 y) + 10 = x$ .

$10 \cos (2 y) + 10 = x$

Bước 2.2

Trừ $10$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$10 \cos (2 y) = x - 10$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $10 \cos (2 y) = x - 10$ cho $10$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $10 \cos (2 y) = x - 10$ cho $10$ .

$\frac{10 \cos (2 y)}{10} = \frac{x}{10} + \frac{- 10}{10}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 \cos (2 y)}{10} = \frac{x}{10} + \frac{- 10}{10}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $\cos (2 y)$ cho $1$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{10} + \frac{- 10}{10}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $- 10$ cho $10$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{10} - 1$

Bước 2.4

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$2 y = \arccos (\frac{x}{10} - 1)$

Bước 2.5

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \arccos (\frac{x}{10} - 1)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \arccos (\frac{x}{10} - 1)$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Bước 2.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = 10 \cos (2 x) + 10$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 \cos (2 x) + 10}{10} - 1)}{2}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $10 \cos (2 x) + 10$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Đưa $10$ ra ngoài $10 \cos (2 x)$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x)) + 10}{10} - 1)}{2}$

Bước 4.2.3.2

Đưa $10$ ra ngoài $10$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x)) + 10 \cdot 1}{10} - 1)}{2}$

Bước 4.2.3.3

Đưa $10$ ra ngoài $10 (\cos (2 x)) + 10 (1)$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x) + 1)}{10} - 1)}{2}$

Bước 4.2.3.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.4.1

Đưa $10$ ra ngoài $10$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x) + 1)}{10 (1)} - 1)}{2}$

Bước 4.2.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x) + 1)}{10 \cdot 1} - 1)}{2}$

Bước 4.2.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{\cos (2 x) + 1}{1} - 1)}{2}$

Bước 4.2.3.4.4

Chia $\cos (2 x) + 1$ cho $1$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\cos (2 x) + 1 - 1)}{2}$

Bước 4.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (2 x) + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\cos (2 x) + 0)}{2}$

Bước 4.2.4.2

Cộng $\cos (2 x)$ và $0$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2})) + 10$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10}{10}$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10})}{2})) + 10$

Bước 4.3.3.1.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{10}{10}$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10})}{2})) + 10$

Bước 4.3.3.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x - 1 \cdot 10}{10})}{2})) + 10$

Bước 4.3.3.1.4

Nhân $- 1$ với $10$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x - 10}{10})}{2})) + 10$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x - 10}{10})}{2})) + 10$

Bước 4.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (\arccos (\frac{x - 10}{10})) + 10$

Bước 4.3.3.3

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 (\frac{x - 10}{10}) + 10$

Bước 4.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 (\frac{x - 10}{10}) + 10$

Bước 4.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = x - 10 + 10$

Bước 4.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 10 + 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Cộng $- 10$ và $10$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = x + 0$

Bước 4.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = 10 \cos (2 x) + 10$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$