Lượng giác Ví dụ

$- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = - 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ .

$- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$

Bước 2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Bước 2.2.2.1.2

Chia $\cos (3 y - \frac{π}{4})$ cho $1$ .

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{- 2}$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = - \frac{x}{2}$

Bước 2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$3 y - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{x}{2})$

Bước 2.4

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$

Bước 2.5

Chia mỗi số hạng trong $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Bước 2.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Bước 2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 2.5.3.1.2

Nhân $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1.2.1

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4 \cdot 3}$

Bước 2.5.3.1.2.2

Nhân $4$ với $3$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ có là hàm ngược của $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4}))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 4.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 (1)})}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 4.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 \cdot 1})}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 4.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x - \frac{π}{4})}{1})}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 4.2.3.1.2.4

Chia $- \cos (3 x - \frac{π}{4})$ cho $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 4.2.3.2

Nhân $- - \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (1 \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 4.2.3.2.2

Nhân $\cos (3 x - \frac{π}{4})$ với $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Bước 4.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Bước 4.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 (4)}) - \frac{π}{4})$

Bước 4.3.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 \cdot 4}) - \frac{π}{4})$

Bước 4.3.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4})$

Bước 4.3.4

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π - π}{4})$

Bước 4.3.4.1.2

Trừ $π$ khỏi $π$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{0}{4})$

Bước 4.3.4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Chia $0$ cho $4$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 0)$

Bước 4.3.4.2.2

Cộng $\arccos (- \frac{x}{2})$ và $0$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

Bước 4.3.5

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Bước 4.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x}{2}$ vào tử số.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \frac{- x}{2}$

Bước 4.3.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Bước 4.3.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Bước 4.3.6.4

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 1 (- x)$

Bước 4.3.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 1 x$

Bước 4.3.7.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ là hàm ngược của $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$