Lượng giác Ví dụ

$- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = - 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$ .

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$

Bước 2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $\csc (\frac{1}{2} y)$ cho $1$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2}{- 4}$

Bước 2.3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.2.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Bước 2.3.3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.2.2.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 4$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Bước 2.3.3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Bước 2.3.3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Bước 2.4

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ bên trong cosecant.

$\frac{1}{2} y = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 2.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y$ .

$\frac{y}{2} = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 2.6

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 2.7

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 2.7.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ có là hàm ngược của $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 \csc (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 4.2.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 4.2.3.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{4} + \frac{1}{2})$

Bước 4.2.3.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 (2)} + \frac{1}{2})$

Bước 4.2.3.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Bước 4.2.3.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Bước 4.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1) + 1}{2})$

Bước 4.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2})) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Bước 4.2.5.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Bước 4.2.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1}{2})$

Bước 4.2.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) + 0}{2})$

Bước 4.2.6.1.2

Cộng $2 \csc (\frac{x}{2})$ và $0$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Bước 4.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Bước 4.2.6.2.2

Chia $\csc (\frac{x}{2})$ cho $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\csc (\frac{x}{2}))$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})))) + 2$

Bước 4.3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Bước 4.3.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) + 2$

Bước 4.3.3.2

The functions cosecant and arccosecant are inverses.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + 2$

Bước 4.3.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Bước 4.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x}{4}$ vào tử số.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Bước 4.3.3.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Bước 4.3.3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Bước 4.3.3.4.4

Viết lại biểu thức.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 1 (- x) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Bước 4.3.3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 1 x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Bước 4.3.3.6

Nhân $x$ với $1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Bước 4.3.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 (- 2) (\frac{1}{2}) + 2$

Bước 4.3.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2})) + 2$

Bước 4.3.3.7.3

Viết lại biểu thức.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 2 + 2$

Bước 4.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 0$

Bước 4.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ là hàm ngược của $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$