Lượng giác Ví dụ

$4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ .

$4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$

Bước 2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ cho $4$ .

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Bước 2.2.2.1.2

Chia $\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$ cho $1$ .

$\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{x}{4}$

Bước 2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$\frac{y}{2} - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{x}{4})$

Bước 2.4

Cộng $\frac{π}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Bước 2.5

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Bước 2.6

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Bước 2.6.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Bước 2.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Rút gọn $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Bước 2.6.2.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Bước 2.7

Cộng $\frac{π}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Bước 2.8

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Bước 2.9

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Bước 2.9.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Bước 2.9.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1

Rút gọn $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Bước 2.9.2.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Bước 4.2.3.2

Chia $\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ cho $1$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) + \frac{2 π}{3}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \arccos (\frac{x}{4})$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $\frac{2 π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 (\frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 \frac{π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.3.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 (1)} - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 \cdot 1} - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}}{1} - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.3.4.4

Chia $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$ cho $1$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

Bước 4.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π - π}{3})$

Bước 4.3.4.2

Trừ $π$ khỏi $π$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{0}{3})$

Bước 4.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Chia $0$ cho $3$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + 0)$

Bước 4.3.5.2

Cộng $\arccos (\frac{x}{4})$ và $0$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}))$

Bước 4.3.6

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Bước 4.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Bước 4.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$