Lượng giác Ví dụ

$\sin (θ) - \cos (θ) = \sqrt{2}$

Bước 1

Sử dụng đẳng thức lượng giác để giải phương trình. Trong đẳng thức này, $θ$ đại diện cho góc được tạo ra bằng cách vẽ điểm $(a, b)$ trên đồ thị và do đó có thể tìm được bằng $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ trong đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ và $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Bước 2

Lập phương trình để tìm giá trị của $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Bước 3

Lấy nghịch đảo tang để giải phương trình tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\tan^{-1} (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Bước 4

Giải để tìm giá trị của $R$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Bước 4.3

Cộng $1$ và $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Bước 5

Thay các giá trị đã biết vào phương trình.

$(\sqrt{2}) \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ cho $\sqrt{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ cho $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $\sin (θ - \frac{π}{4})$ cho $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$

Bước 7

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm sin.

$θ - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

Bước 8

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\sin^{-1} (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Bước 9

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $θ$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Bước 9.2

Để viết $\frac{π}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Bước 9.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Bước 9.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 9.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Bước 9.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Bước 9.5.2

Cộng $2 π$ và $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Bước 10

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$θ - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Bước 11

Giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn $π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 11.1.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 11.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 11.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 11.1.3.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Bước 11.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $θ$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Bước 11.2.2

Để viết $\frac{π}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Bước 11.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Bước 11.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 11.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Bước 11.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Bước 11.2.5.2

Cộng $2 π$ và $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Bước 12

Tìm chu kỳ của $\sin (θ - \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13

Chu kỳ của hàm $\sin (θ - \frac{π}{4})$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$