Lượng giác Ví dụ

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

Bước 1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

Bước 2

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

Bước 2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Bước 2.3

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

Bước 2.4

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Bước 2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Bước 3

Đổi các biến với nhau. Tạo một phương trình cho từng biểu thức.

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

Bước 4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ .

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

Bước 4.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

Bước 4.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 4.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 (y + 1)}$ ở dạng ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Rút gọn ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 4.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 4.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 4.4.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 4.4.2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 4.4.2.1.3.2

Rút gọn.

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

Bước 4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Rút gọn ${(x - 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1.1

Viết lại ${(x - 2)}^{2}$ ở dạng $(x - 2) (x - 2)$ .

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

Bước 4.4.3.1.2

Khai triển $(x - 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Bước 4.4.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Bước 4.4.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Bước 4.4.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Bước 4.4.3.1.3.1.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Bước 4.4.3.1.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Bước 4.4.3.1.3.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Bước 4.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

Bước 4.5.1.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

Bước 4.5.2

Chia mỗi số hạng trong $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 4.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 4.5.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 4.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 5

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 6

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ và $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ rồi so sánh.

Bước 6.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tìm miền giá trị của $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[2, \infty)$

Bước 6.2.2

Tìm miền giá trị của $- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2]$

Bước 6.2.3

Tìm phần hợp của $[2, \infty), (- \infty, 2]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Phần hợp bao gồm tất cả các phần tử được chứa trong mỗi khoảng.

$(- \infty, \infty)$

Bước 6.3

Tìm tập xác định của $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{3 (x + 1)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$3 (x + 1) \geq 0$

Bước 6.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (x + 1) \geq 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (x + 1) \geq 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Bước 6.3.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Bước 6.3.2.1.2.1.2

Chia $x + 1$ cho $1$ .

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

Bước 6.3.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$x + 1 \geq 0$

Bước 6.3.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq - 1$

Bước 6.3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- 1, \infty)$

Bước 6.4

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ là khoảng biến thiên của $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ và khoảng biến thiên của $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ là tập xác định của $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Bước 7