Lượng giác Ví dụ

$\cos (\arcsin (7 x))$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \cos (\arcsin (7 y))$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\cos (\arcsin (7 y)) = x$ .

$\cos (\arcsin (7 y)) = x$

Bước 2.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arcsin (7 y)$ từ trong cosin.

$\arcsin (7 y) = \arccos (x)$

Bước 2.3

Lấy nghịch đảo arcsin cho cả hai vế của phương trình để rút $y$ từ bên trong arcsin.

$7 y = \sin (\arccos (x))$

Bước 2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn $\sin (\arccos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arccos (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Do đó, $\sin (\arccos (x))$ là $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$7 y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Bước 2.4.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$7 y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Bước 2.4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 2.5

Chia mỗi số hạng trong $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ cho $7$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ cho $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Bước 2.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ có là hàm ngược của $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x)))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

Bước 4.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

Bước 4.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arcsin (7 x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ . Do đó, $\cos (\arcsin (7 x))$ là $\sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Bước 4.2.4.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = 7 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Bước 4.2.4.4

Nhân $7$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

Bước 4.2.4.5

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

Bước 4.2.4.6

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

Bước 4.2.4.7

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))})}}{7}$

Bước 4.2.4.8

Nhân $7$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)})}}{7}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$

Bước 4.3.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ . Do đó, $\cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$ là $\sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

Bước 4.3.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(\frac{7}{7} + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Bước 4.3.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Bước 4.3.5.3

Viết lại $\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.1

Đưa $7$ ra ngoài $7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.1.1

Đưa $7$ ra ngoài $7$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Bước 4.3.5.3.1.2

Đưa $7$ ra ngoài $7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Bước 4.3.5.3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.2.1

Rút gọn biểu thức $\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Bước 4.3.5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Bước 4.3.5.3.2.2

Chia $1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ cho $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Bước 4.3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

Bước 4.3.5.4.2

Chia $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ cho $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ là hàm ngược của $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$